Siempre hay error

2004/03/01 Roa Zubia, Guillermo - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

¿Cuánto mide mi compañero más alto? Dice que no llega a los dos metros. Sí, ¿pero cuánto? "Uno con noventa, casi dos metros". Sí, pero ¿cuánto?" Me quedan tres centímetros para llegar a dos metros".

La verdad es que, en una conversación coloquial, basta con esa precisión; está claro qué es 1,97 metros y no le añadiría nada saber el número de milímetros. Pero si mi compañero hubiera participado en un experimento biológico y tuviese que medir su altura, no sería de extrañar que la precisión en milímetros fuera imprescindible.

Los criterios científicos para las mediciones son muy estrictos. Por ejemplo, no son iguales el número 1,97, el 1,970 y el 1,9700. La adición de ceros detrás del último decimal no supone un cambio. Sin embargo, en la ciencia cambia mucho.

Supongamos que miden a su compañero y que en el informe de resultados los biólogos escriben 1,970 metros. ¿Qué significa eso? Esto significa que mide un metro, noventa y siete centímetros y cero milímetros. No uno o dos milímetros. No. Un milímetro cero a noventa y siete. Y si escribieran 1,97 metros en el informe, indicarían que no han medido los milímetros. Que no lo saben y que seguramente no lo quieren saber.

Depende del medidor

Medir la altura de una persona es sencillo, pero otras medidas pueden tener muchos problemas. Por supuesto, el problema depende del grado de precisión, que es diferente para cada medida. ¿Cuántos metros tiene el Everest? ¿Cuántos milibares de presión atmosférica hay ahora y aquí? ¿Cuántas toneladas pesa el elefante? ¿A cuántos miles de grados se funde el titanio? ¿En cuántos centésimas de segundo hizo el atleta Marion Jones cien metros en la última carrera?

¿Cuántos metros tiene el Everest?

El ejemplo del Everest es significativo. Hay técnicas para medir la altura en metros, pero las más precisas no están al alcance de todos. Por ejemplo, se puede medir con precisión desde un satélite mediante láser, pero no cualquier persona tiene la tecnología necesaria para ello. La triangulación es más sencilla, pero este método no proporciona precisión en metros. Aunque la medición se realiza con mucho cuidado, el resultado nunca es exacto porque el método tiene un error propio.

Y esto se concreta cada vez que los científicos escriben resultados numéricos. Por ejemplo, la altura de mi compañero es de 1,97 metros, un centímetro. Esto significa que la altura se encuentra entre 1,98-1,96, pero asegura que la medida no presenta mayores errores que ésta; es más, con esta medida la altura no puede conocerse más exactamente que ésta, ya que el método utilizado no es capaz de dar mayor precisión.

El grado de detalle se obtiene por tanto conjuntamente con el resultado. Si se dice que el Everest tiene 8.848 metros, cuatro incidencias, por ejemplo, se indica que el método de medida tiene un error máximo de 4 metros.

Error máximo

¿En cuántos centésimas de segundo hizo el atleta Marion Jones cien metros en la última carrera?

¿Y a qué altura estaría la cabeza de mi compañero en la cima del Everest? Podríamos medirlo directamente si el compañero sube hasta allí. Pero no es tarea fácil. Es más fácil calcularlo a partir de las dos medidas anteriores. Por ello, la mayoría de los datos a utilizar, en lugar de medirlos, son calculados por los científicos a partir de otros datos. En este caso, el resultado se obtendría al sumar las dos alturas ya medidas. Pero cuidado. Este resultado también tendría un grado de precisión. Tendría un error.

Se puede pensar que la cabeza estaría a 8.849,97 metros (suma de dos alturas) y que el error sería de un centímetro. Pero esto no es correcto. Aunque la altura del compañero se ha medido con una precisión de centímetros, el monte se ha medido con un error de cuatro metros. Por lo tanto, la cabeza del compañero estaría en esa franja de 8.852 y 8.845 metros. No está claro dónde está exactamente; el resultado debería ser de 8.850 metros, pero admitiendo un error de cuatro metros, ya que en las mediciones iniciales no se puede ajustar más esa precisión.

En el ejemplo aquí presentado no tiene mucho sentido utilizar decimales. La altura del Everest es la que menos precisión tiene en ambas, y está en metros, por lo que, para utilizar la misma precisión, la altura del compañero también requiere metros. Por lo tanto, deberá redondearse a dos metros en este caso. Y por eso es el resultado de un cálculo de 8.850 metros.

Criterio de redondeo

¿Por qué redondear la altura del compañero a dos metros? ¿Por qué no se enrolla a un metro si antes de la coma aparece el número 1? La razón es simple: 1,97 más cerca de 2 que de 1. Está a la vista, ¿no? Y si en lugar de un número entero se necesita un decimal, una vez redondeado se obtendría el número 2,0, este último cero es importante porque indica la precisión del primer decimal.

¿Cuántos milibares de presión atmosférica hay ahora y aquí?

El redondeo no siempre es tan limpio, pero hay que mantener el criterio de proximidad. Aunque parezca una tontería, hay que recordar que el 1,51 también está más cerca del 2 que del 1, y el 1,50001. De nuevo, a la hora de redondear se tenderá a 2 (y 1,5 si se necesita un decimal).

Sin embargo, el número 1,5 no está más cerca de 2 que de 1. ¿Qué se hace en este caso? Los científicos se han puesto de acuerdo y han fijado el criterio para estos casos: el redondeo se realizará a un número par. Según esto, el número 1,5 se redondeará al 2 y no al 1, y por ejemplo el número 4,5 al 4. Es una decisión arbitraria, pero aceptada en el ámbito científico.

Calidad de la medida

Sabiendo que el compañero tiene dos metros de largo, si estuviera en la cima del Everest, lo vería desde una altura de 8.850 metros. Y se admite un error de 4 metros en la medición. Sin embargo, ¿es una buena medición? ¿Bastante concreto?

Una vez obtenido un resultado, hay que reflexionar. Puede que el error sea demasiado grande y no se pueda tener en cuenta el resultado, puede que sea necesario cambiar el método de medición y utilizar otro más preciso. No es una decisión fácil, mirar los números puede ayudar.

Determinar la incidencia del error no es suficiente para ello. Por ejemplo, a la hora de medir la distancia de la Tierra a la Luna, el error de cuatro metros es muy pequeño, pero a la hora de medir la altura de una persona es muy grande. Por lo tanto, ¿dónde está el límite del error aceptable? ¿Qué error se puede dar por bueno?

El error puede dar respuesta. Por ejemplo, si hay un error de cuatro metros a la altura del Everest, se puede analizar mediante números. Basta con calcular el porcentaje del resultado:

(4x100)/8.848

¿Cuántas toneladas pesa el elefante?

El resultado de esta operación, redondeado a dos decimales, es del 0,05%. Es decir, el error no llega ni al 5% del valor medido. Por lo tanto, se puede dar por bueno sin problemas. En general, los científicos toman como criterio este porcentaje. En el caso del Everest, por tanto, se obtendrá un resultado de calidad si se mide por un método de cuatro metros de error.

Sin embargo, las cosas van lentamente en la ciencia y hay que tener en cuenta que los propios científicos pueden cometer errores. De hecho, si medimos diez veces la altura de los compañeros, no obtendríamos los mismos resultados en diez. Por ello, no se admiten resultados una vez medidos. Cuantos más se realicen, más segura será la corrección del resultado.

¿Pesado? Es un trabajo bastante pesado, pero necesario. El científico tiene que hacer el trabajo lo más limpio posible, ya que el método que está utilizando tiene un error en sí mismo. El error es siempre. Siempre.