El terror del cantor i de l'infinit

2009/11/01 Roa Zubia, Guillermo - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Les matemàtiques no han provocat moltes vegades la por. Ha espantat a molta gent i gaudeix de fama de ser incomprensible i avorrit, però difícilment li fa por. No obstant això, ha ocorregut. El prestigiós matemàtic Georg Cantaire va haver de superar la por per a mantenir la recerca i avui dia forma part de la història de les matemàtiques. Objecte d'estudi, infinit.

L'infinit matemàtic no té un aspecte molt terrorífic, és un símbol en forma de vuit tombats que poques vegades apareix en els càlculs. Però, més enllà del símbol, el concepte mateix és fosc i terrible.

En la pràctica, l'infinit no és gens terrorífic quan sorgeix a través d'un sistema cíclic. Un exemple: Un viatge sobre la Terra pot ser infinit perquè el mateix planeta no acaba en cap lloc; i un altre: els dos extrems d'una cinta magnètica units entre si formen una cinta que no acaba i que pot utilitzar-se per a l'enregistrament continu del vídeo (eliminant l'anterior gir en cada gira).

Però un infinit no cíclic s'escapa de la intuïció. En definitiva, tot té un final en el món de l'home mortal. I el concepte de l'infinit no acaba. Quants números hi ha? Clar, infinit. Però què significa això? No és un concepte intuïtiu. Sabem que hi ha infinit números, però no podem imaginar el concepte en la realitat. Cal anar més enllà de la intuïció per a començar a entendre. Georg Cantor es va embarcar en aquest viatge més enllà de la intuïció i va morir en un hospital psiquiàtric, ple de crítiques i dubtes filosòfics de molts matemàtics de l'època. Però va ser un gran científic que va obrir el camí de l'infinit.

Cantor va definir matemàticament l'infinit. No va bastar saber que hi ha infinits números, Cantor va demostrar que això és cert, que el conjunt dels números té infinits elements.

Per a això, va analitzar els grups finits. S'entén fàcilment amb dos conjunts de tres elements. Un conjunt de números 1, 2 i 3, i un conjunt de números 4, 5 i 6, per exemple. Mitjançant una senzilla operació es pot unir un número del primer grup i un altre del segon. Aquesta operació permet agrupar tots els elements per parelles (1 i 4, 2 i 5, 3 i 6). No hi ha elements en falta o sobren i hi ha enllaços individuals. Cantor diu que això demostra que tots dos grups tenen el mateix nombre d'elements. Fent el mateix amb grups molt grans, es pot saber si tots dos tenen el mateix nombre d'elements o no, sense saber quin és.

Perquè en la definició de l'infinit el mateix. Va agafar el conjunt dels nombres naturals (1, 2, 3...) i va comprovar que es podia associar individualment al conjunt dels nombres parells (2, 4, 6...). No importa el nombre d'elements, es pot fer una unió per parelles, sense sobrar ni faltar elements. Sabem que el segon grup és el subconjunt del primer i, no obstant això, és possible. Cantor va indicar que això només ocorre amb els conjunts d'infinit elements, i així va quedar definit l'infinit.

Nous infinits

La veritable revolució va venir perquè un pas va ser més enllà: va proposar que no tots els infinits són iguals. Hi ha infinits més grans que uns altres. Per exemple, el conjunt de nombres naturals té menys números que els nombres reals. Els nombres naturals són 1, 2, 3, etc., mentre que en el conjunt dels nombres reals s'inclouen els números amb decimals. Per tant, l'infinit de nombres reals és major que el de nombres naturals.

Quants nombres naturals hi ha? Perquè Cantaire va donar un nom a aquesta quantitat infinita: Aleph-0 Es tracta d'un número, però en provenir d'un conjunt infinit, és un número transfinit. Òbviament, Aleph-0 és major que qualsevol nombre natural, però menor que altres números transfinits.

Per exemple, el nombre de nombres reals Aleph-1 és major. I no sols és major, sinó que és un infinit d'un altre tipus, ja que els nombres reals no es poden comptar, no són numerables (els naturals sí).

Cantor estava espantat. Va crear una aritmètica completa dels números transfinits; el següent pas lògic era investigar l'infinit, però pensava que va arribar massa lluny. Estava a les portes del camp religiós, o a l'interior, perquè els conceptes de l'infinit i de Déu tenen molt a veure. Va rebre moltes crítiques i es va deprimir.

La trista vida de Cantor va portar un tresor a les matemàtiques. Actualment, l'aritmètica dels números transfinits és fonamental en el tractament de l'infinit. Això va ser el que va fer gran Cantor: va mirar enfront de la por matemàtica en benefici dels menys atrevits.