O terror do cantor e do infinito

2009/11/01 Roa Zubia, Guillermo - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

As matemáticas non provocaron moitas veces o medo. Escorrentou a moita xente e goza de fama de ser incomprensible e aburrido, pero dificilmente dálle medo. Con todo, ocorreu. O prestixioso matemático Georg Cantor tivo que superar o medo paira manter a investigación e hoxe en día forma parte da historia das matemáticas. Obxecto de estudo, infinito.

O infinito matemático non ten un aspecto moi terrorífico, é un símbolo en forma de oito tombados que poucas veces aparece nos cálculos. Pero, máis aló do símbolo, o concepto mesmo é escuro e terrible.

Na práctica, o infinito non é nada terrorífico cando xorde a través dun sistema cíclico. Un exemplo: Unha viaxe sobre a Terra pode ser infinito porque o mesmo planeta non termina en ningún sitio; e outro: os dous extremos dunha cinta magnética unidos entre si forman una cinta que non termina e que pode utilizarse paira a gravación continua do vídeo (eliminando o anterior xiro en cada xira).

Pero un infinito non cíclico escápase da intuición. En definitiva, todo ten un final no mundo do home mortal. E o concepto do infinito non termina. Cantos números hai? Claro, infinito. Pero que significa iso? Non é un concepto intuitivo. Sabemos que hai infinito números, pero non podemos imaxinar o concepto na realidade. Hai que ir máis aló da intuición paira empezar a entender. Georg Cantor embarcouse nesta viaxe máis aló da intuición e morreu nun hospital psiquiátrico, cheo de críticas e dúbidas filosóficas de moitos matemáticos da época. Pero foi un gran científico que abriu o camiño do infinito.

Cantor definiu matematicamente o infinito. Non bastou saber que hai infinitos números, Cantor demostrou que iso é certo, que o conxunto dos números ten infinitos elementos.

Paira iso, analizou os grupos finitos. Enténdese facilmente con dous conxuntos de tres elementos. Un conxunto de números 1, 2 e 3, e un conxunto de números 4, 5 e 6, por exemplo. Mediante unha sinxela operación pódese unir un número do primeiro grupo e outro do segundo. Esta operación permite agrupar todos os elementos por parellas (1 e 4, 2 e 5, 3 e 6). Non hai elementos en falta ou sobran e hai enlaces individuais. Cantor di que iso demostra que ambos os grupos teñen o mesmo número de elementos. Facendo o mesmo con grupos moi grandes, pódese saber se ambos teñen o mesmo número de elementos ou non, sen saber cal é.

Pois na definición do infinito o mesmo. Colleu o conxunto dos números naturais (1, 2, 3...) e comprobou que se podía asociar individualmente ao conxunto dos números pares (2, 4, 6...). Non importa o número de elementos, pódese facer una unión por parellas, sen sobrar nin faltar elementos. Sabemos que o segundo grupo é o subconjunto do primeiro e, con todo, é posible. Cantor indicou que isto só ocorre cos conxuntos de infinito elementos, e así quedou definido o infinito.

Novos infinitos

A verdadeira revolución veu porque un paso foi máis aló: propuxo que non todos os infinitos son iguais. Hai infinitos máis grandes que outros. Por exemplo, o conxunto de números naturais ten menos números que os números reais. Os números naturais son 1, 2, 3, etc., mentres que no conxunto dos números reais inclúense os números con decimais. Por tanto, o infinito de números reais é maior que o de números naturais.

Cantos números naturais hai? Pois Cantor deu un nome a esa cantidade infinita: Aleph-0 Trátase dun número, pero ao provir dun conxunto infinito, é un número transfinito. Obviamente, Aleph-0 é maior que calquera número natural, pero menor que outros números transfinitos.

Por exemplo, o número de números reais Aleph-1 é maior. E non só é maior, senón que é un infinito doutro tipo, xa que os números reais non se poden contar, non son numerables (os naturais si).

Cantor estaba asustado. Creou una aritmética completa dos números transfinitos; o seguinte paso lóxico era investigar o infinito, pero pensaba que chegou demasiado lonxe. Estaba ás portas do campo relixioso, ou no interior, porque os conceptos do infinito e de Deus teñen moito que ver. Recibiu moitas críticas e deprimiuse.

A triste vida de Cantor trouxo un tesouro ás matemáticas. Actualmente, a aritmética dos números transfinitos é fundamental no tratamento do infinito. Iso foi o que fixo grande Cantor: mirou fronte ao medo matemático en beneficio dos menos atrevidos.