Diagrames lògics (I)

1989/09/01 Angulo, Patxi Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Al llarg de la història de les matemàtiques les imatges han resultat molt útils per als matemàtics. A partir dels números s'han representat rectes, plans, espai, el·lipses, circumferències, cons, paraboloides, funcionis si i cosinus, exponencials, funcions de dues, tres i quatre variables, funcions complexes i mil coses més que existeixen en el món de les matemàtiques. És més, s'han utilitzat tant per a representar les coses com per a demostrar algunes propietats, timons i teoremes.

A tall d'exemple, citaríem alguns casos: El nostre mite, llegenda o història sobre la mort d'Arquimedes. a. C. L'any 212, quan els soldats eromáticos van prendre amb armes la ciutat de Siracusa, quan Arquimedes formava part d'una demostració geomètrica, va ser assassinat per una espasa. (Cal recordar que en aquella època les imatges es feien en sorra). Però sense ser tan tràgic, aquí està la demostració a través d'imatges del teorema de Pitàgores (Figura 1). Finalment M. Es tracta d'un article del mestre Willians en el qual, amb l'ajuda del tangram, apareixen algunes proves matemàtiques d'Euklides.

Però en aquesta línia els matemàtics han anat més lluny i no s'han quedat en les representacions d'aquests conceptes tan coneguts. La seva valentia ha anat més enllà i han arribat a imaginar el llenguatge, la idea, el propi raonament. Per lògica, les matemàtiques i la filosofia s'uneixen. En aquest article parlarem de la representació de la lògica.

Un dels pioners en la representació dels raonaments és el català Ramón Llull. En la seva obra mestra Ars Magna va voler explicar qualsevol tema mitjançant sistemes de cercles concèntrics. Entre altres (figura 2), Déu (A,A) i la qualitat de l'ànima (S), la relació entre les coses (T), set virtuts i set pecats (V) o mentida i veritat (X). Llull aconseguia totes les combinacions possibles movent cercles.

Després d'aquest esment especial i oblidant a altres pioners, descriurem el primer sistema utilitzat en la història de l'anàlisi de la lògica. Aquest és només el diagrama de Venn. Els diagrames de Venn s'han utilitzat en la teoria de conjunts que, dins de la matemàtica moderna, és un tema bàsic. A més, ha servit per a resoldre els problemes de la lògica clàssica heretada d'Aristòtil grec i del concepte de sil·logisme.

Sens dubte, l'aparició de la definició d'algebra de classe de Boole va tenir una gran influència en l'èxit obtingut pels diagrames de Venn.

Comencem per aplicar les regles bàsiques per a un bon funcionament dels diagrames:

– Cadascun dels cercles representarà una classe; els punts dins del cercle seran classes i els exteriors seran de classe no. Si la classe és S per a no S escrivim &S. La figura 3 mostra un diagrama de tres classes.

– Per a indicar que no hi ha elements en una classe, enfosquirem. Indicarem que hi ha algun element amb una X. Si els elements poden estar en dues zones contigües, anotarem X en el límit.

En la figura 4 es poden veure els següents diagrames de premisses

Del diagrama 4b) es dedueix que: “Cap S és P”.

“Hi ha S M” (4c) (X està en el límit perquè no sabem on estan els elements en un, un altre o tots dos).

Si la segona premissa fos “M oro P és”, hauríem d'escriure en X mitjà: 4d).

Quan apareixen més de tres temes es complica. Els cercles han de ser substituïts per el·lipses, 5 a) i a vegades per imatges no connectades 5b).

També es pot utilitzar en el càlcul de proposta creat com a interpretació del càlcul de classes. Per a això és necessari modificar les normes dictades i donar-li una nova interpretació. Ara els cercles representen les propostes. Aquestes poden ser certes o falses. Abans enfosquíem les regions sense elements. Ara també s'enfosqueixen per a expressar combinacions impossibles dels valors. La figura 6 mostra quatre cercles: grans (A, B i C) corresponents a les proposicions i petits (no A ni B ni C, &A&B &C) per a indicar la cara exterior de les proposicions A, B i C i facilitar la foscor.

En la figura 7 es poden veure alguns exemples:

7a) “A és certa”; 7b) “A és falsa” (o “&A és certa”).

El diagrama condicional “Si A és cert B és cert”, s'escriu A … B. El pla objecte d'aquesta relació és CE, EF, FE i FF (Veritable, Fals), dels quals només EF no és vàlid. Per tant, les regions amb A&B (A, no B) han d'enfosquir-se com s'observa en el diagrama 7 c), és a dir, el diagrama corresponent a la proposta “A or B dóna”. Si a la proposta anterior afegim la proposició “A és certa”, és a dir, enfosquim &A, obtindrem el diagrama de la figura 7d) i com a conclusió obtenim “B és veritable”.

En la figura 7b) es pot observar que la falsedat A no implica que la B sigui falsa o certa, podent ser l'una o l'altra. Per contra, en la figura 7d) s'observa que el fet que A sigui certa ha de ser necessàriament cert.

La figura 8 mostra els diagrames de totes les relacions binàries entre els termes A i B, així com de les seves denegacions. Si s'inclou el tercer temi C, el diagrama és fàcilment extensible als tres temes. Abans explicarem la redacció:

De moment deixarem aquí la descripció dels Diagrames Lògics. En el següent número, Elhuyar. En el número 26 de Ciència i Tècnica (setembre) es pretén publicar la segona i última part de l'article, donant per finalitzada la descripció completa del tema.