Ondas de dispersió lineals i no lineals

1998/09/01 Vega, Luis Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Les observacions realitzades per l'enginyer escocès John Scott Russell en un canal pròxim a Edimburg (1835) es consideren la primera descripció escrita de l'ona solitària. En aquest cas, es tractava d'una ona originada en canals de poca profunditat que mantenia aparentment la forma i la velocitat sense canvis, però que es propagava a gran velocitat durant un període de temps molt llarg. Russell va ser capaç de repetir el succés en el laboratori i va observar que la velocitat, altura i amplària de l'ona estaven relacionades: major velocitat a major altura però menor amplària.

Van haver de passar 60 anys per a trobar el model matemàtic adequat. Després de les aportacions bàsiques de Stokes (1847), Boususte (1872) i Rayleig (1876), Korteweg i de Vries (1895) van proposar l'equació que porta el seu nom:

(1) ht + (c0 + c1h) hx + nhxxx = 0.

La funció h(x,t) mesura la desviació de l'altura del fluid en el punt x i en el temps t de l'estat d'equilibri. Les constants físiques del problema són c0, c1 i n. És fàcil veure que les funcions (2) són les solucions de l'equació (1), independentment de 0,>comprovant les observacions de Russell. L'existència de la citada ona solitària és la influència d'un determinat equilibri entre la dispersió que produeix el terme que porta a la tercera derivada i el xoc o concentració produït per la interacció no lineal.

En la segona meitat d'aquest segle, Kruskal i Zabusky (1965) van aconseguir l'equació KdV (que es diu així (equació (1))) com a límit continu d'una xarxa unidimensional formada per N molls amb feble interacció no lineal, segons el model proposat per Fermi, Pasta i Ulam (1955). KdV és exactament el resultat d'una interacció quadràtica. Quan el tema hhx és cúbic se substitueix per h2hx. La nova equació es denomina KdV modificat (mKdV). Prenent les dades inicials simples (h(x,0) = a cos (2{)), es van realitzar assajos numèrics i, després d'un interval de temps, van veure que apareix un tren d'ones format per diverses "ones solitàries", amb amplituds i, per tant, velocitats diferents. A l'ésser les condicions de l'entorn periòdiques, aquestes ones s'enfronten entre si i, això sí, sorprenentment, segueixen el camí després dels xocs, ja que a penes va ocórrer. És a dir, com una interacció lineal.

Van inventar la paraula "solitoi" per a aquest nou tipus de resolució. A més, Fermi, Pasta i Ulam també van veure el que van destacar com un fenomen gairebé periodístic. La transformació que Miura va trobar en la seva evolució ha estat decisiva, relacionant les solucions de KdV i mKdV (més concretament, es pot veure que les quantitats que l'evolució manté sense modificar són infinites). D'altra banda, tant KdV com mKdV es consideren en l'actualitat equacions "canòniques", apareixent com una aproximació a certs models físics i no sols en la dinàmica de les ones en canals de poca profunditat. Es pot veure el llibre [1] de la bibliografia per a aquests temes i com a referència de resultats anteriors.

No obstant això, no hem d'oblidar que les equacions són només models matemàtics i són una simplificació bruta del problema físic original. No és clar, per tant, si amb aquest procediment no hem perdut la informació essencial. Tampoc es garanteix per endavant que aquest model matemàtic tingui solució per a un conjunt raonable de dades inicials. Tampoc, en cas de resolució, que aquesta sigui única i asseguri un comportament correcte davant petits errors de mesurament de les dades inicials. Hem treballat en aquest camp. R. Kenig (University of Chicago) i G. Amb els professors Ponce (University of Califòrnia, Santa Bàrbara) i diversos treballs iniciats en 1989 hem desenvolupat tècniques per a tractar aquests temes.

Tant KdV com mKdV han de considerar-se pertorbacions "petites" del problema lineal al qual estan vinculades. No obstant això, no és clar com s'ha de mesurar aquesta petita llum. És a dir, els instruments de mesura i decisió del petit i gran han de trobar-se en l'equació de les derivades parcials corresponents. O, cosa que és el mateix, buscar el paràmetre rellevant del problema.

Segons la nostra recerca la clau pot ser: Pertorbació del perfil inicial de l'ona solitària que proporciona la fórmula (2) amb un factor molt oscil·lant (cosNx, N>1) i una amplitud A(N) prou petita. Llavors la dada inicial

(3) h = A(N) cos (Nx) sech2 (x-t/3),

serà per a l'equació de KdV i una cosa semblant (col·locant sech en el lloc de sech2) per a mKdV, prenent els valors particulars adequats de les constants per a facilitar la seva representació. Ho hem vist en [3] i per a mKdV

(4) A(N)< N1/4

en el seu cas, que les resolucions estiguin uniformement alineades. Per a l'equació de KdV el resultat era pitjor. Però aquest és el J de l'Institute for Advanced Study de Princeton. Va ser dirigida pel professor Bourgain, demostrant que A(N)<1 per a KdV era suficient. Va inventar noves tècniques per a això, que han estat molt útils en altres equacions de derivats parcials. En particular, Fermi, Pasta i Ulam va demostrar amb precisió la periodicitat observada mitjançant mètodes numèrics.

Sorprenentment, el resultat de Bourgain pot millorar-se. En [4] hem demostrat que l'amplitud també pot créixer. En concret, basta

(5) A(N) < N-p , p > 3/4

Aquest resultat és més d'acord amb la condició (4) coneguda per a mKdV, ja que la diferència entre tots dos és d'una unitat, com suggereix la transformació de Miura.

Recentment hem demostrat (4) que és òptima (és molt possible que així sigui (5). En concret, utilitzant el paràmetre a de la fórmula (2) s'han obtingut noves solucions amb propietats d'interès. D'una banda, excepte una massa residual amb comportament dispers, són ones que es desplacen en direcció contrària a l'ona solitària que apareix en (1). D'altra banda, en actuar amb els paràmetres N i a, substituir l'exponent 1/4 en la condició (4) per un altre més petit, es perd la uniformitat de dependència contínua i, per tant, es demostra la inestabilitat.

Aquestes noves solucions són la generalització d'altres conegudes per a l'equació semi-lineal de Schrödinger. Equació

(6) iut = uxx + l o I2 o

és a dir, també canònic i té una estreta relació amb mKdV, encara que al nostre judici encara no s'entén bé. Per exemple, les ones solitàries el perfil de les quals d'assecant hiperbòlic és la solució de totes dues equacions. A més, l'equació (6) conté solitones i la llei de conservació té un número infinit. I té una propietat a part, la inmutabilitat amb les transformacions de Galileu. Per mitjà de la present, la resolució corresponent a la dada eiNx u0 pot redactar-se en funció de la dada u0. Per tant, per a (6) es dedueix la mateixa inestabilitat que hem demostrat per a mKdV.

El significat d'aquesta inestabilitat des del punt de vista físic és una pregunta inherent, ja que (6) apareix com una aproximació a models físics de diversos àmbits, com l'òptica no lineal i la mecànica de fluids. Més concretament, i a través de la transformació d'Hasimoto, està lligada a l'evolució d'un "vortex filament" i, en el ferromagnetisme, és el límit continu de la cadena d'Heisenberg. Aquesta ona solitària té el seu últim enllaç amb el problema clàssic de la "corba elàstica" de Bernoulli: Escrivint de forma polar el nombre complex que dóna la resolució o de l'equació (6), el mòdul dóna curvatura i l'argument és la funció original de la torsió.

Finalment, la inestabilitat d'aquestes noves resolucions pot servir per a resoldre un altre problema. Tornem a l'equació de KdV i prenguem la constant física n que mesura la dispersió. Com s'ha indicat anteriorment, quan el valor d'aquest paràmetre és zero, el model pot generar ones de xoc (n'hi ha prou amb prendre dades inicials no decreixents). La manera de continuar la resolució després de les col·lisions no és l'única. Per això cal tornar al model físic i utilitzar l'entropia per a seleccionar una resolució físicament significativa. Una altra manera de respondre al problema de la no solitud és mitjançant la resolució de l'equació (2) per als valors de n, prenent el límit. La relació entre la solució "entròpica" i la "dispersió nul·la" no està ben aclarida. També volem advertir que, actuant amb els paràmetres N i a de les noves resolucions abans esmentades, podem modificar la dispersió n.

• Títol del projecte: Ondas de dispersió lineals i no lineals.
• L'objectiu del projecte és el problema del Cauchy de les equacions de dispersió, la regularitat de les dades i resolucions inicials, la inestabilitat de les solucions.
• Director: Luis Vega González
• Equip de treball: Susana Gutierrez de Gràcia yM. Cruz Vilela Bendaña (UPV/EHU); Campaners: Carlos E. Kenig (University of Chicago) i Gustavo Ponce (University of Califòrnia, Santa Bàrbara)
• Departament: Matemàtiques
• Facultat: Facultat de Ciències

REFERÈNCIES

1. A. C. Newell, Solitons in Mathematics and Physics (SIAM, eds. ), 1985.
2. J. Bourgain, Fourier restriction phenomena for certain latticesubsets and applications to nonlinear evolution equations,Geometric and Functional Anal. 3 (1993), 107-156, 209-262.
3. C.E. Kening, G. Ponce and L. Vega, Well-posedness and scattering results for the generalized Korteweg-de Vries equation via theccontraction principle, Comm. Pure Apple. Math. 46 (1993), 527-620.
4. C.E. Kening, G. Ponce and L. Vega, A bilinear estimate withapplications to the KdV equation, Journal Amer. Math. Soc. 9(1996), 573-603.