Las ecuaciones funcionales están en nuestro entorno

2014/02/01 Indurain Eraso, Esteban - Analisi Matematikoa saileko katedraduna eta Matematika mintegiko buruaNafarroako Unibertsitate Publikoa | Abrisqueta Usaola, F. Javier - Askatasuna BHI institutuko Matematika irakaslea eta NUPeko Analisi Matematikoa sailean irakasle laguna Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Ecuaciones funcionales: algunos ejemplos

Comenzaremos con algunos ejemplos ilustrativos:

1. Contemplaremos algunas etapas básicas de la vida de una persona:

(F) Nacimiento

Encontrar trabajo (II)

(III) compra de vivienda

(IV) casarse

Está claro que las tres últimas etapas no se pueden completar sin la primera (nacer). Las tres últimas pueden producirse en cualquier orden.

Por otro lado, se pueden unir varias etapas básicas y crear una etapa global que englobe todas ellas. Es decir, las etapas de búsqueda de empleo y compra de vivienda se pueden unir en una etapa más amplia denominada arraigo. Ahora, a partir de este ejemplo, intentaremos obtener una expresión matemática; la realización de la etapa b tras la etapa a, denominamos F(a,b) ( a y b e X , donde X es el conjunto de todas las etapas básicas). Aceptaremos F: X x X B X X que cumple la ecuación de permutabilidad X (en otras zonas, ecuación de migrabilidad):

F(a,b),c) = F(F(a,c),b), a,b,c e X para todas.

Lo cierto es que esta ecuación funcional es bastante conocida en otras ramas de la ciencia (no sólo en matemáticas):

Por ejemplo, en economía. Supongamos que tenemos una cantidad de dinero C, un capital, en la entidad bancaria, y que tras un periodo tenemos que pagar un impuesto (entregar a Hacienda una proporción del dinero sobrante de la caja). Si partiendo de un capital C cobran r 1 C, siendo r 1 e (0,1), la cantidad que quedará en el banco será R(C,r 1 )=(1-r 1) C. Si tuviéramos que pagar dos impuestos, enseguida nos daremos cuenta de cómo la cantidad que nos quedaría en el banco no variará según el orden en el que estemos pagando los impuestos de la siguiente manera:

Ed. Elhuyar Zientzia

R(R(C,r 1 ),r 2 ) = (R(R(C,r 2 ),r 1 ), C,r 1 ,r 2 > 0 y r1,r 2 e (0,1).

Informática. Aparece en los algoritmos de computación que deben determinar los trabajos que deben realizar los ordenadores.

2. Queremos realizar viajes en avión. Para ir de un aeropuerto llamado x a otro que se llama, tenemos que pagar P(x,y). Además, las tasas del aeropuerto de salida, T(x), también deben pagarse, de forma que el precio del viaje sea P(x,y)+T(x). Supongamos que según el sistema de precios acordado el valor de los viajes de ida y vuelta debe ser el mismo, es decir, P(x,y)+T(x) = P(y,x)+T(y), donde x e y son aeropuertos.

En este caso diremos P: X x X Cálculo [0,+·) cumple la ecuación del circuito:

P(x,y)+P(y,z)+P(z,x) = P(x,z)+P(z,y)+P(y,x), x,y,z e X

Si queremos medir la diferencia entre los precios de los viajes de ida y vuelta, sin tener en cuenta las tasas de los aeropuertos, debemos analizar la función F(x,y) = P(x,y)-P(y,x), en este caso F: X X X\ R cumple la ecuación funcional de Sincov:

F(x,y)+F(y,z) = F(x,z) para todos x,y,z e X.

3. Un grupo de investigación asentado en el País de Computación1 puede alcanzar niveles de excelencia de nivel x mediante el trabajo de investigadores locales. Las personas de Chiffreland, que también son investigadoras, lograrán un nivel de excelencia y si el equipo trabaja por su cuenta. Sin embargo, la colaboración entre ambos equipos permite alcanzar niveles de excelencia E(x,y) y, probablemente, alcanzar niveles superiores a los x e y de cada grupo. También debemos reconocer que el nivel de excelencia E(x,y) alcanzado con el trabajo conjunto será el máximo alcanzable. Si uno de ellos alcanzase este nivel sin el apoyo del otro, aunque se juntase con el otro no mejoraría ese nivel de excelencia. Es decir, colaborar con el otro grupo no supondría elevar el nivel de excelencia de la investigación. Esta situación la podemos expresar de la siguiente manera:

E(E(x,y),y) = E(x,y) = E(x,E(x,y)),

R: La función X x X B X se denomina función de incremento, donde X representa todos los niveles de excelencia. Esta ecuación está bastante estudiada en la literatura especial y se llama ecuación del consenso porque está relacionada con los problemas habituales que se presentan en los estudios de Selección Social.

Investigación matemática por ecuaciones funcionales

Cuando un matemático escucha la expresión ecuación funcional, inmediatamente se le ocurren conceptos como ecuaciones diferenciales, ecuaciones de derivada parcial o ecuaciones integrales. Esto es fácil de entender, ya que este tipo de ecuaciones tienen su propia teoría bien desarrollada y consolidada, y además podemos afirmar con certeza que este matemático ha aprendido en sus estudios universitarios al menos alguno de los conceptos mencionados, si no todos ellos.

Ed. Springer

Pero la expresión ecuación funcional abarca un conjunto más amplio de relaciones entre ecuaciones o funciones.

En la resolución de los ejemplos presentados en el portal, estos ejemplos no se analizarán, al menos en un principio, con las técnicas empleadas por las teorías de derivadas parciales, ecuaciones diferenciales o ecuaciones integrales. Es más, una persona que trabaja en ecuaciones funcionales se encuentra con ecuaciones poco o nada relacionadas con ecuaciones diferenciales, integrales o derivadas parciales, y las que encuentra son muy similares a las que aparecen en nuestros ejemplos.

Lo que pasa es que no existe una teoría matemática consolidada y extendida para el aprendizaje de estas ecuaciones funcionales (que son de significado más general y amplio), aunque existen estudios y trabajos clásicos (por desgracia o por fortuna son pocos trabajos).

Hay que hacer un ejemplo o mención interesante: en este tema de las ecuaciones funcionales, como ya se ha comentado, hay poca bibliografía. Es más, las técnicas utilizadas para el estudio de ecuaciones con funciones multivariantes, como F(x,y)+(F(y,z) = F(x,z), difieren radicalmente de las utilizadas para el estudio de ecuaciones funcionales con funciones monovariables como f(x+y)=f(x)+f(y).

Lo normal es que cuando un investigador resuelve una ecuación de este tipo, comunica el descubrimiento en una revista especializada utilizando técnicas básicas, o bien lo presenta como un problema de resolución en una revista especializada en resolución de problemas, es decir, en la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Cuando un problema de este tipo se presenta en una olimpiada matemática internacional, los participantes --alumnos excelentes entre otros- ponen en marcha toda su habilidad e imaginación para resolver estos problemas nuevos para ellos, y muchas veces desarrollan nuevas técnicas. A veces, la colección de procedimientos de resolución utilizados por los alumnos en las olimpiadas matemáticas constituye un recurso enorme para quienes trabajan en esta materia. Como ya tenemos, hay que decir que uno de los libros más destacados en este tema es el que ha escrito el entrenador de la selección canadiense de Matemática Olímpica. Ha ordenado y recopilado las técnicas utilizadas por los mejores y ha obtenido un excelente libro sobre ecuaciones funcionales.

Palabras finales y un problema como regalo

Este tipo de ecuaciones aparecen en nuestro campo de investigación y publicamos artículos en revistas especializadas (análisis matemático abstracto, computación teórica, economía matemática o selección social).

Estamos trabajando en ello y podemos decir que, a pesar de ser una línea que no se trabaja demasiado entre los matemáticos, tampoco es de poco interés. Por ello, nos hemos atrevido a escribir esta nota, intentando poner de manifiesto esta línea de investigación. Por último, si hay algún lector que todavía no está satisfecho, presentamos el segundo problema de la Olimpiada de Matemáticas realizada en Santander: "Determine todas las funciones reales f:R R R de una sola variable que cumplan la ecuación funcional f(y)(x-2)+f(y+2f(x)=f(x+y f(x))), x,y e R."

Esta rama de investigación forma parte del proyecto de investigación MTM2012-37894-C02-02.

1 Hemos tenido que utilizar este nombre imaginario porque gracias a la amplia visión de los políticos hoy en día no hay grupos de investigación.

Referencias