Matemáticas del Renacimiento
1990/05/01 Bandres Unanue, Luis Iturria: Elhuyar aldizkaria
En los inicios del Renacimiento se trabajó mucho en el campo de las matemáticas. En esta elaboración se basaron las colecciones medievales. El verdadero desarrollo de las matemáticas, es decir, el sistema construido mediante deducciones mediante proposiciones lógicamente formadas, desapareció durante la Edad Media y sólo se utilizaba para realizar los cálculos necesarios para los intercambios de matemáticas comerciales, para la medición de tierras, etc. Pero XIV. Debido al auge que conoció la vida comercial en el siglo XIX, el cálculo requería una nueva profundización que obligó a recuperar, investigar y profundizar en las colecciones medievales.
El recogedor latino de mayor prestigio es Boecio (475-524). Escribió varios sencillos tratados sobre astronomía, geometría, aritmética y música basados en obras de Ptolomeo, Euklides y Nicolás de Alejandría. Pero más importancia que éstas tiene su traducción de escritos sobre la lógica aristotélica. El otro colector a tener en cuenta es Kasiodoro (~ 490-580). En las “Etimologías” de San Isidoro (570-636) de Sevilla se pueden encontrar definiciones de conceptos matemáticos como la Veda Venerable (673-735) o el Alcuinus de York. XII. En las escuelas que a mediados del siglo XX estaban vinculadas a varias catedrales europeas, se consideraban como textos los trabajos de estos recogedores mencionados en el proyecto “quadrivium” (geometría, astronomía, aritmética y música).
Pero, como hemos mencionado antes, en el desarrollo de las matemáticas esta vía no tiene tanta importancia, sino la segunda. El beneficio más fructífero de los árabes al pensamiento científico fue la recuperación y transmisión de la ciencia griega clásica, y a pesar de su escaso resultado original, su actitud laica y abierta frente a la ciencia, frente a la occidental, fue un gran avance.
Los árabes bebieron la ciencia griega clásica de dos fuentes: por un lado, es la fuente de los griegos de Bizantzio y, por otro, la de los cristianos nestorianos situados en el este de Persia. Aunque las ciencias árabes vuelven y conservan el latín XII. siglo IX. Sabemos que para el siglo XX había varias traducciones. A partir de este último siglo las relaciones comerciales entre la Europa cristiana y el Islam se multiplicaron y el resto de las relaciones. Así, las traducciones árabes encontraron su camino para acceder al oeste. Sicilia y Toledo se convirtieron en la cabina de los traductores. Por supuesto, estas traducciones se realizaban de árabe a latín. Pero XII. Las traducciones directas comenzaron en el siglo XIX, es decir, del griego al latín. Año tras año este camino fue tomando prioridad y el XIV. A principios del siglo XX las traducciones árabes se usaban muy poco.
Lo que los árabes transmitieron al oeste en el campo de las matemáticas era mucho más próspero que lo que tenía la ciencia griega. Esta riqueza no se corresponde con el trabajo original de los árabes, sino con la asimilación de las matemáticas hindúes. Los hindúes consiguieron grandes avances en el campo de la aritmética y el álgebra: conocían las raíces cuadradas y cúbicas, disponían de medios para realizar sumas de series aritméticas intenciongeométricas, tenían métodos de resolución de ecuaciones primarias y secundarias y disponían de la tabla trigonométrica del seno.
Sin embargo, el mayor regalo que hicieron a la ciencia fue su sistema de numeración, es decir, el sistema posicional que utilizamos ahora y en el que la invención del cero merece un lugar especial. Primera declaración completa de este sistema IX. En el siglo XVIII lo hizo un matemático árabe llamado Al-Khwarizmi. En Occidente la expansión de este sistema fue muy lenta y aunque XII. El siglo XVI. En el siglo XVIII (salvo en Italia) el sistema romano se utilizaba ampliamente en el resto de territorios. Sin embargo, XIV. Se puede decir que a partir del siglo XX el sistema hindo-árabe se impuso entre los matemáticos.
El desarrollo de las matemáticas de esta época se desarrolló en Occidente en tres pasos. A la inicial se le puede llamar “el primer Renacimiento”; XIII y XIV. Sucedió durante siglos y su principal logro fue la recuperación de la matemática clásica. Éste tuvo su particular cabina en París. Su persona más citada es Leonardo de Pisa y su área principal era la aritmética o vía de cálculo. Segunda parte XV. Lo tenemos en el siglo XX. En esta ocasión un nuevo químico de las matemáticas consiguió florecer, es decir, el álgebra y su cima se publicaron en 1494 el trabajo “Summa” de Luca Pacioli. A partir de ahora, el desarrollo de las matemáticas va a seguir la línea aritmético - algebraica, con la que estamos en la tercera edad, es decir, en pleno Renacimiento.
Como se ha dicho, la rama principal de las matemáticas de esta época era la aritmética algebraica, pero también hay que reconocer los avances tanto en la geometría como en la trigonometría. La verdad es que no hubo avances teóricos importantes en el campo de la geometría, pero hay que tener en cuenta los trabajos realizados por arquitectos, pintores, etc. La particularidad de esta época es el desarrollo del espíritu científico-técnico. Por lo tanto, los avances prácticos de cualquier disciplina significaban algo más que un mero aspecto técnico.
Por otro lado, la trigonometría logró un gran avance en esta época y alcanzó toda su autonomía. De este modo, aquel que al principio de aquella época era sólo un milagro de la astronomía, al final será su dueño.
Por ello, se abrió la puerta a su desarrollo teórico en los próximos años.
Vida de Viète XVI. Finalizó en el siglo XX, pero en su obra se encuentra la base del salto que se debía dar para pasar al álgebra simbólica. Con ello se cerró una época de gran importancia en la historia de las matemáticas. Casi inmediatamente el impulso de la nueva física hizo que el cálculo infinitesimal prevaleciera en el campo de las matemáticas. Podemos dar por finalizada una etapa. Sus resultados comenzarían a florecer en el siglo siguiente, es decir, en la actualidad, la Ciencia Moderna o el XVII. Con el inicio conocido como Revolución Científica del siglo XX.
Enseñanza de Matemáticas
XII. Hasta el siglo XX el mundo intelectual estaba encarcelado en los monasterios. Esta situación comenzó a deteriorarse en el citado siglo y con la creación de las Universidades. Es el caso de París (1160), Bolonia (1160), Oxford (1167), Padua (1222), Salamanca (1227), Cracovia (1364) y Viena (1367). La enseñanza universitaria se basaba en siete artes liberales y en ciencia el “quadrivium” era el lugar de reunión. A pesar de que en un principio las universidades son de gran ayuda para el mundo intelectual, al llegar a la Baja Edad Media se convirtieron en castillos de la defensa de la tradición aristotético-cristiana, afectando únicamente a los desarrollos científicos.
El nivel de las matemáticas que se enseñaba en las universidades era muy bajo y se mantuvo en esa situación. Hasta finales del siglo XX. En realidad, XIII, XIV y XV. Los avances en materia matemática realizados en los siglos XIX se realizaron fuera de las universidades. Así, XV. Las universidades que impartían matemáticas en la segunda mitad del siglo XX eran sólo de Bolonia y Cracovia, en las que se enseñaba por prestar apoyo a la astronomía y a la astrología. Con el cambio de siglo, la situación cambió radicalmente. XVI. En el siglo XX las cátedras de matemáticas comienzan a florecer en todas las universidades.
En el desarrollo de las matemáticas (y no sólo de las matemáticas) tuvo especial importancia la impresión de los libros. Esto, entre otras cosas, generó y aceptó el simbolismo único y más simple, algo que, como todos sabemos, es imprescindible para el desarrollo de las matemáticas. En este inicio, el primer trabajo fue la publicación de escritos clásicos. Así, en 1472 se imprimirán las “Etimologías” de Isidoro de Sevilla y la “Sphaera” de Sacrobosco, en 1478 la “Aritmética” de Boecio verá la luz (que en un siglo contó con más de veinticinco publicaciones) y en 1488 se correspondería con el “Algorismus” de Sacrobosco. A partir de ahora se publicarán obras tanto de Euclides como de Arquímedes, Apolonio o Diofanto, junto con otras muchas obras clásicas. Además, no sólo en latín sino también en lenguas populares.
Por lo tanto, la universidad con sus cátedras, a un lado y a otro la infraestructura bibliográfica tenía columnas. Para el desarrollo de la enseñanza de las matemáticas en el siglo XX.
Hacia el cálculo de algebra
XIII. Debido a la expansión del comercio y de la banca en el siglo XIX, sobre todo en Italia, se redactaron y publicaron una serie de trabajos matemáticos que tenían como objetivo el uso práctico. Así XVI. En el siglo XVIII se puede decir que la aritmética práctica llegó a la Edad de Oro.
La primera aritmética práctica que se imprimió fue publicada en Treviso en 1478 y su autor se desconoce. En él se incluyen, entre otras, las cuatro operaciones básicas (suma y resta de forma sucinta, multiplicación y división más amplia y por diferentes vías; no olvidemos que la resolución de estas últimas operaciones a lo largo del Renacimiento tenía su dificultad), la regla de tres (“regola de tre cose”), etc. se encuentran. Diez años más tarde, Pietro Borghi publicará su obra en Venecia. De Italia esta tendencia se traslada especialmente a Alemania, donde se publican varios libros.
En aquellos años se dieron los primeros pasos para la recopilación de una herramienta imprescindible para la creación de las matemáticas, es decir, para la construcción de un formalismo abstracto. A través de ella, los términos y las operaciones se expresarían con una simbología general y sencilla, facilitando la expansión y profundización de las matemáticas. Las matemáticas construyen los modelos por encima de las ideas, y por eso necesita un código simbólico para ir directamente al fondo eliminando las hojas.
En este campo tiene gran importancia el problema de la escritura de los números. Por un lado, tenemos abacerdotes. Estos eran partidarios de escribir los números en romano y el XVII. Hasta mediados del siglo XX, entre los banqueros y los comerciantes, sobre todo, estos eran los que dominaban. Hay que recordar que los ábacos utilizaban para sus operaciones y que hasta la fecha se han utilizado en Rusia y Asia.
Ante ellos tenemos los que podemos denominar algorítmicos. Estos escribían los números en árabe. En un principio esta escritura se utilizaba únicamente en las universidades y su proceso de expansión fue lento y laborioso. Uno de los libros de cálculo más importantes con esta nueva escritura es el llamado “Algorismus” (1488) de Sacrobosco, antes mencionado. Pero entre los que trabajaban las matemáticas como ciencias teóricas había una oportunidad en el Renacimiento. Por lo tanto, los números árabes consiguieron su importancia.
Dentro de quince años después de la publicación de la “Aritmética” de Treviso, apareció el imponente “Summa” de Luca Pacioli. El franciscano Luca Pacioli fue profesor de Perusa y Roma y en 1494 publicó en Venecia el libro titulado “Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita”. Este trabajo consta de cinco secciones, cada una de las cuales está dividida en diferentes subsecciones. El núcleo del texto corresponde a la aritmética y el algebra. En la primera parte del “summa” se analiza la aritmética: la clasificación pitagórica de los números y la teoría tradicional de los poliedros regulares. A continuación, explicará las operaciones aritméticas básicas, suma (por un método), resta (por tres métodos), multiplicación (por ocho métodos), división (por cuatro métodos), cálculos de progresiones aritméticas, raíces cuadradas y cúbicas, y potabilización. Más adelante investigará las fracciones y así termina la aritmética.
Proporciona normas mnemotécnicas para recordar las operaciones básicas y los signos de nivelación al comenzar con el álgebra. De este modo, distingue entre los que deben utilizarse en los cálculos diarios y en el “arte maggiore” (que denominará “caratteri algebrici”).
Estudiará primero y segundo en la teoría de ecuaciones. El de mayor rango dirá que, en general, no se puede resolver a través del álgebra (algunos años más tarde serían Tartaglia, Cardano y otros matemáticos). En el cuarto apartado nos dará la contabilidad de doble partida y las tablas monetarias y de medidas, mientras que en el quinto se ocupa de la geometría.
XVI. A lo largo del siglo XX, el desarrollo del álgebra avanza por dos líneas. Por un lado, la construcción de una simbología sencilla y sumativa y, por otro, la resolución de problemas de gran importancia, como las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y por otro lado la construcción de una ciencia formal. La primera línea la tomarán especialmente los matemáticos alemanes. La segunda es italiana. La combinación de estas dos vías, es decir, el paso del particular al general mediante una simbología sencilla y potente, S. Stevin (1548-1620) holandeses y F. La lograrán el francés Viète (1540-1603). Estos dos científicos se encuentran fuera de las escuelas tradicionales italianas y alemanas.
Simon Stevin o Simon de Brujas, uno de esos ingenieros científicos del final del Renacimiento. Además de ser un gran entusiasmo en la resolución de problemas prácticos, hizo que sus poderes pasaran al terreno teórico. Se ocupó de la construcción de fortalezas y muelles, pero no descartó la geometría, la estática, la hidrostática, la contabilidad, la aritmética y el algebra. Sus dos obras más prolíficas sobre matemáticas se publicaron en 1585 en la ciudad de Leiden. Sus nombres son “De Thiende” y “L’Arithmetique et la Practique de la Arithmetique”.
El primero fue escrito por Stevin para usos prácticos. Aunque antes las fracciones eran conocidas, su uso era muy reducido y nadie las incluyó dentro de una estructura. Stevin inventó una nueva escritura para poder utilizar con fracciones las reglas matemáticas que guían números enteros. Sin embargo, esta escritura no era muy adecuada y dentro de pocos años (1617 o) Neper propuso escribir la parte decimal separada por una coma tras el número entero que utilizamos actualmente. En este trabajo, el sistema de base decimal de pesos, medidas y monedas propuesto por el autor debería esperar más de dos siglos para tomar cuerpo.
Arithmetique presenta dos ideas de gran importancia para el desarrollo del álgebra. Por un lado, la suma del concepto de número y, en base a esto, la suma de las reglas de resolución de las ecuaciones algebraicas. Así, la investigación de la teoría de los números supondrá la plena aceptación de los números negativos y, por tanto, eliminará la subdivisión existente para resolver las ecuaciones algebraicas ofreciendo una “regla única”. Sin embargo, en el caso de las ecuaciones cúbicas y bicarradas no consiguió lo que pudo, ya que Bombelli (1572 o) no había asimilado el concepto de números imaginarios representados por primera vez.
François Vièt revolucionó la visión de la pensamiento matemático. Él propuso que los cálculos no se basen en cantidades concretas sino en símbolos o símbolos que puedan expresar cualquier cantidad. Y también conseguirlo. Así, a nivel de abstracción, situó el álgebra por encima de la aritmética y utilizó sistemáticamente el álgebra en los campos de la trigonometría y la geometría. En las obras de Vièt el paso del particular al general se ve por primera vez sin labios.
Trigonometría
Este campo fue tratado como parte especial de las matemáticas en el Renacimiento. El responsable fue Johannes Müller (1436-1476), más conocido como “Regiomontano”. Su obra “De triangulis omnimodis libre quinque”, aunque realizada en 1465, no fue publicada hasta 1533. Los dos primeros de estos cinco libros corresponden a la trigonometría launa y los otros tres a la esférica. La verdad es que aunque su trabajo no sea muy original, las nuevas vías de investigación que abre sus aspectos sintetizadores no son excluyentes.
Junto con otros nombres de esta área, Johannes Werner (hacia 1528), Petrus Apianus (1495-1552), Gemma Frisius (1508-1555), Georg J. Rheticus (1514-1574) y Willerbrord Snell (1581-1626).
Geometría
La Geometría del Renacimiento es eminentemente práctica. Sus trabajadores serán principalmente pintores, arquitectos y artesanos. En los libros de matemáticas generales habrá muy pocas páginas (en la mayoría de los casos algunos problemas que se ponen en la parte final) y de vez en cuando viene una expresión semi-sistemática u otra. Traducciones y comentarios de obras de Euklides, Apolonio y Arquímedes. Las fuerzas que se gastan a lo largo del siglo XX se quedan en el último humanismo científico. Para dar un fuerte salto previo este campo de las matemáticas, la Física moderna tendrá que completarse, pero lo que ya conocemos como Renacimiento ya estaba pasado.
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