Matemáticas do Renacemento
1990/05/01 Bandres Unanue, Luis Iturria: Elhuyar aldizkaria
Nos inicios do Renacemento traballouse moito no campo das matemáticas. Nesta elaboración baseáronse as coleccións medievais. O verdadeiro desenvolvemento das matemáticas, é dicir, o sistema construído mediante deducións mediante proposicións loxicamente formadas, desapareceu durante a Idade Media e só se utilizaba paira realizar os cálculos necesarios paira os intercambios de matemáticas comerciais, paira a medición de terras, etc. Pero XIV. Debido ao auxe que coñeceu a vida comercial no século XIX, o cálculo requiría una nova profundización que obrigou a recuperar, investigar e profundar nas coleccións medievais.
O recogedor latino de maior prestixio é Boecio (475-524). Escribiu varios sinxelos tratados sobre astronomía, xeometría, aritmética e música baseados en obras de Ptolomeo, Euklides e Nicolás de Alexandría. Pero máis importancia que estas ten a súa tradución de escritos sobre a lóxica aristotélica. O outro colector a ter en conta é Kasiodoro (~ 490-580). Nas “Etimologías” de San Isidoro (570-636) de Sevilla pódense atopar definicións de conceptos matemáticos como a Veda Venerable (673-735) ou o Alcuinus de York. XII. Nas escolas que a mediados do século XX estaban vinculadas a varias catedrais europeas, considerábanse como textos os traballos destes recogedores mencionados no proxecto “quadrivium” (xeometría, astronomía, aritmética e música).
Pero, como mencionamos antes, no desenvolvemento das matemáticas esta vía non ten tanta importancia, senón a segunda. O beneficio máis frutífero dos árabes ao pensamento científico foi a recuperación e transmisión da ciencia grega clásica, e a pesar do seu escaso resultado orixinal, a súa actitude laica e aberta fronte á ciencia, fronte á occidental, foi un gran avance.
Os árabes beberon a ciencia grega clásica de dúas fontes: por unha banda, é a fonte dos gregos de Bizantzio e, por outro, a dos cristiáns nestorianos situados no leste de Persia. Aínda que as ciencias árabes volven e conservan o latín XII. século IX. Sabemos que paira o século XX había varias traducións. A partir deste último século as relacións comerciais entre a Europa cristiá e o Islam multiplicáronse e o resto das relacións. Así, as traducións árabes atoparon o seu camiño paira acceder ao oeste. Sicilia e Toledo convertéronse na cabina dos tradutores. Por suposto, estas traducións realizábanse de árabe a latín. Pero XII. As traducións directas comezaron no século XIX, é dicir, do grego ao latín. Ano tras ano este camiño foi tomando prioridade e o XIV. A principios do século XX as traducións árabes usábanse moi pouco.
O que os árabes transmitiron ao oeste no campo das matemáticas era moito máis próspero que o que tiña a ciencia grega. Esta riqueza non se corresponde co traballo orixinal dos árabes, senón coa asimilación das matemáticas hindús. Os hindús conseguiron grandes avances no campo da aritmética e a álxebra: coñecían as raíces cadradas e cúbicas, dispuñan de medios paira realizar sumas de series aritméticas intenciongeométricas, tiñan métodos de resolución de ecuacións primarias e secundarias e dispuñan da táboa trigonométrica do seo.
Con todo, o maior agasallo que fixeron á ciencia foi o seu sistema de numeración, é dicir, o sistema posicional que utilizamos agora e no que a invención do cero merece un lugar especial. Primeira declaración completa deste sistema IX. No século XVIII fíxoo un matemático árabe chamado Ao-Khwarizmi. En Occidente a expansión deste sistema foi moi lenta e aínda que XII. O século XVI. No século XVIII (salvo en Italia) o sistema romano utilizábase amplamente no resto de territorios. Con todo, XIV. Pódese dicir que a partir do século XX o sistema hindo-árabe impúxose entre os matemáticos.
O desenvolvemento das matemáticas desta época desenvolveuse en Occidente en tres pasos. Á inicial pódeselle chamar “o primeiro Renacemento”; XIII e XIV. Sucedeu durante séculos e o seu principal logro foi a recuperación da matemática clásica. Este tivo a súa particular cabina en París. A súa persoa máis citada é Leonardo de Pisa e a súa área principal era a aritmética ou vía de cálculo. Segunda parte XV. Témolo no século XX. Nesta ocasión un novo químico das matemáticas conseguiu florecer, é dicir, a álxebra e a súa cima publicáronse en 1494 o traballo “Summa” de Luca Pacioli. A partir de agora, o desenvolvemento das matemáticas vai seguir a liña aritmético - algebraica, coa que estamos na terceira idade, é dicir, en pleno Renacemento.
Como se dixo, a rama principal das matemáticas desta época era a aritmética algebraica, pero tamén hai que recoñecer os avances tanto na xeometría como na trigonometría. A verdade é que non houbo avances teóricos importantes no campo da xeometría, pero hai que ter en conta os traballos realizados por arquitectos, pintores, etc. A particularidade desta época é o desenvolvemento do espírito científico-técnico. Por tanto, os avances prácticos de calquera disciplina significaban algo máis que un mero aspecto técnico.
Doutra banda, a trigonometría logrou un gran avance nesta época e alcanzou toda a súa autonomía. Deste xeito, aquel que ao principio daquela época era só un milagre da astronomía, ao final será o seu dono.
Por iso, abriuse a porta ao seu desenvolvemento teórico nos próximos anos.
Vida de Viète XVI. Finalizou no século XX, pero na súa obra atópase a base do salto que se debía dar paira pasar á álxebra simbólica. Con iso pechouse una época de gran importancia na historia das matemáticas. Case inmediatamente o impulso da nova física fixo que o cálculo infinitesimal prevalecese no campo das matemáticas. Podemos dar por finalizada una etapa. Os seus resultados comezarían a florecer no século seguinte, é dicir, na actualidade, a Ciencia Moderna ou o XVII. Co inicio coñecido como Revolución Científica do século XX.
Ensino de Matemáticas
XII. Até o século XX o mundo intelectual estaba encarcerado nos mosteiros. Esta situación comezou a deteriorarse no citado século e coa creación das Universidades. É o caso de París (1160), Bolonia (1160), Oxford (1167), Padua (1222), Salamanca (1227), Cracovia (1364) e Viena (1367). O ensino universitario baseábase en sete artes liberais e en ciencia o “quadrivium” era o lugar de reunión. A pesar de que nun principio as universidades son de gran axuda paira o mundo intelectual, ao chegar á Baixa Idade Media convertéronse en castelos da defensa da tradición aristotético-cristiá, afectando unicamente aos desenvolvementos científicos.
O nivel das matemáticas que se ensinaba nas universidades era moi baixo e mantívose nesa situación. Até finais do século XX. En realidade, XIII, XIV e XV. Os avances en materia matemática realizados nos séculos XIX realizáronse fóra das universidades. Así, XV. As universidades que impartían matemáticas na segunda metade do século XX eran só de Bolonia e Cracovia, nas que se ensinaba por prestar apoio á astronomía e á astrología. Co cambio de século, a situación cambiou radicalmente. XVI. No século XX as cátedras de matemáticas comezan a florecer en todas as universidades.
No desenvolvemento das matemáticas (e non só das matemáticas) tivo especial importancia a impresión dos libros. Isto, entre outras cousas, xerou e aceptou o simbolismo único e máis simple, algo que, como todos sabemos, é imprescindible paira o desenvolvemento das matemáticas. Neste inicio, o primeiro traballo foi a publicación de escritos clásicos. Así, en 1472 imprimiranse as “Etimologías” de Isidoro de Sevilla e a “Sphaera” de Sacrobosco, en 1478 a “Aritmética” de Boecio verá a luz (que nun século contou con máis de vinte e cinco publicacións) e en 1488 corresponderíase co “Algorismus” de Sacrobosco. A partir de agora publicaranse obras tanto de Euclides como de Arquímedes, Apolonio ou Diofanto, xunto con outras moitas obras clásicas. Ademais, non só en latín senón tamén en linguas populares.
Por tanto, a universidade coas súas cátedras, ao carón e a outro a infraestrutura bibliográfica tiña columnas. Paira o desenvolvemento do ensino das matemáticas no século XX.
Cara ao cálculo de algebra
XIII. Debido á expansión do comercio e da banca no século XIX, sobre todo en Italia, redactáronse e publicaron una serie de traballos matemáticos que tiñan como obxectivo o uso práctico. Así XVI. No século XVIII pódese dicir que a aritmética práctica chegou á Idade de Ouro.
A primeira aritmética práctica que se imprimiu foi publicada en Treviso en 1478 e o seu autor descoñécese. Nel inclúense, entre outras, as catro operacións básicas (suma e resta de forma sucinta, multiplicación e división máis ampla e por diferentes vías; non esquezamos que a resolución destas últimas operacións ao longo do Renacemento tiña a súa dificultade), a regra de tres (“regola de tre cose”), etc. atópanse. Dez anos máis tarde, Pietro Borghi publicará a súa obra en Venecia. De Italia esta tendencia trasládase especialmente a Alemaña, onde se publican varios libros.
Naqueles anos déronse os primeiros pasos paira a recompilación dunha ferramenta imprescindible paira a creación das matemáticas, é dicir, paira a construción dun formalismo abstracto. A través dela, os termos e as operacións expresaríanse cunha simboloxía xeral e sinxela, facilitando a expansión e profundización das matemáticas. As matemáticas constrúen os modelos por encima das ideas, e por iso necesita un código simbólico paira ir directamente ao fondo eliminando as follas.
Neste campo ten gran importancia o problema da escritura dos números. Por unha banda, temos abacerdotes. Estes eran partidarios de escribir os números en romano e o XVII. Até mediados do século XX, entre os banqueiros e os comerciantes, sobre todo, estes eran os que dominaban. Hai que lembrar que os ábacos utilizaban paira as súas operacións e que até a data utilizáronse en Rusia e Asia.
Ante eles temos os que podemos denominar algorítmicos. Estes escribían os números en árabe. Nun principio esta escritura utilizábase unicamente nas universidades e o seu proceso de expansión foi lento e laborioso. Uno dos libros de cálculo máis importantes con esta nova escritura é o chamado “Algorismus” (1488) de Sacrobosco, antes mencionado. Pero entre os que traballaban as matemáticas como ciencias teóricas había una oportunidade no Renacemento. Por tanto, os números árabes conseguiron a súa importancia.
Dentro de quince anos despois da publicación da “Aritmética” de Treviso, apareceu o impoñente “Summa” de Luca Pacioli. O franciscano Luca Pacioli foi profesor de Perusa e Roma e en 1494 publicou en Venecia o libro titulado “Summa de arithmetica, xeometría, proportioni et proportionalita”. Este traballo consta de cinco seccións, cada una das cales está dividida en diferentes subsecciones. O núcleo do texto corresponde á aritmética e o algebra. Na primeira parte do “summa” analízase a aritmética: a clasificación pitagórica dos números e a teoría tradicional dos poliedros regulares. A continuación, explicará as operacións aritméticas básicas, suma (por un método), resta (por tres métodos), multiplicación (por oito métodos), división (por catro métodos), cálculos de progresións aritméticas, raíces cadradas e cúbicas, e potabilización. Máis adiante investigará as fraccións e así termina a aritmética.
Proporciona normas mnemotécnicas paira lembrar as operacións básicas e os signos de nivelación ao comezar coa álxebra. Deste xeito, distingue entre os que deben utilizarse nos cálculos diarios e na “arte maggiore” (que denominará “caratteri algebrici”).
Estudará primeiro e segundo na teoría de ecuacións. O de maior rango dirá que, en xeral, non se pode resolver a través da álxebra (algúns anos máis tarde serían Tartaglia, Cardano e outros matemáticos). No cuarto apartado daranos a contabilidade de dobre partida e as táboas monetarias e de medidas, mentres que no quinto ocúpase da xeometría.
XVI. Ao longo do século XX, o desenvolvemento da álxebra avanza por dúas liñas. Por unha banda, a construción dunha simboloxía sinxela e sumativa e, por outro, a resolución de problemas de gran importancia, como as ecuacións de terceiro e cuarto grao, e doutra banda a construción dunha ciencia formal. A primeira liña tomarana especialmente os matemáticos alemáns. A segunda é italiana. A combinación destas dúas vías, é dicir, o paso do particular ao xeneral mediante unha simboloxía sinxela e potente, S. Stevin (1548-1620) holandeses e F. Lograrana o francés Viète (1540-1603). Estes dous científicos atópanse fóra das escolas tradicionais italianas e alemás.
Simon Stevin ou Simon de Bruxas, uno deses enxeñeiros científicos do final do Renacemento. Ademais de ser un gran entusiasmo na resolución de problemas prácticos, fixo que os seus poderes pasasen ao terreo teórico. Ocupouse da construción de fortalezas e peiraos, pero non descartou a xeometría, a estática, a hidrostática, a contabilidade, a aritmética e o algebra. As súas dúas obras máis prolíficas sobre matemáticas publicáronse en 1585 na cidade de Leiden. Os seus nomes son “De Thiende” e “L’Arithmetique et practíquea da Arithmetique”.
O primeiro foi escrito por Stevin paira usos prácticos. Aínda que antes as fraccións eran coñecidas, o seu uso era moi reducido e ninguén as incluíu dentro de una estrutura. Stevin inventou una nova escritura paira poder utilizar con fraccións as regras matemáticas que guían números enteiros. Con todo, esta escritura non era moi adecuada e dentro de poucos anos (1617 ou) Neper propuxo escribir a parte decimal separada por unha coma tras o número enteiro que utilizamos actualmente. Neste traballo, o sistema de base decimal de pesos, medidas e moedas proposto polo autor debería esperar máis de dous séculos paira tomar corpo.
Arithmetique presenta dúas ideas de gran importancia paira o desenvolvemento da álxebra. Por unha banda, a suma do concepto de número e, en base a isto, a suma das regras de resolución das ecuacións algebraicas. Así, a investigación da teoría dos números suporá a plena aceptación dos números negativos e, por tanto, eliminará a subdivisión existente paira resolver as ecuacións algebraicas ofrecendo una “regra única”. Con todo, no caso das ecuacións cúbicas e bicarradas non conseguiu o que puido, xa que Bombelli (1572 ou) non asimilara o concepto de números imaxinarios representados por primeira vez.
François Vièt revolucionou a visión do pensamento matemático. El propuxo que os cálculos non se baseen en cantidades concretas senón en símbolos ou símbolos que poidan expresar calquera cantidade. E tamén conseguilo. Así, a nivel de abstracción, situou a álxebra por encima da aritmética e utilizou sistematicamente a álxebra nos campos da trigonometría e a xeometría. Nas obras de Vièt o paso do particular ao xeneral vese por primeira vez sen beizos.
Trigonometría
Este campo foi tratado como parte especial das matemáticas no Renacemento. O responsable foi Johannes Müller (1436-1476), máis coñecido como “Regiomontano”. A súa obra “De triangulis omnimodis libre quinque”, aínda que realizada en 1465, non foi publicada até 1533. Os dous primeiros destes cinco libros corresponden á trigonometría launa e os outros tres á esférica. A verdade é que aínda que o seu traballo non sexa moi orixinal, as novas vías de investigación que abre os seus aspectos sintetizadores non son excluíntes.
Xunto con outros nomes desta área, Johannes Werner (cara a 1528), Petrus Apianus (1495-1552), Gemma Frisius (1508-1555), Georg J. Rheticus (1514-1574) e Willerbrord Snell (1581-1626).
Xeometría
A Xeometría do Renacemento é eminentemente práctica. Os seus traballadores serán principalmente pintores, arquitectos e artesáns. Nos libros de matemáticas xerais haberá moi poucas páxinas (na maioría dos casos algúns problemas que se pon na parte final) e de cando en vez vén una expresión semi-sistemática ou outra. Traducións e comentarios de obras de Euklides, Apolonio e Arquímedes. As forzas que se gastan ao longo do século XX quedan no último humanismo científico. Paira dar un forte salto previo este campo das matemáticas, a Física moderna terá que completarse, pero o que xa coñecemos como Renacemento xa estaba pasado.
Gai honi buruzko eduki gehiago
Elhuyarrek garatutako teknologia
