Sobre l'últim teorema de Fermat
1995/05/01 Duoandikoetxea Zuazo, Javier - EHUko matematika irakaslea Iturria: Elhuyar aldizkaria
Els matemàtics que estaven escoltant aviat es van adonar que Wiles paralitzava el complicat problema de les Matemàtiques, conegut com el "teorema de Fermat". Aviat la notícia es va estendre a tots els matemàtics del món. També als quals no eren matemàtics, com a testimonis de les cites de periòdics, ràdio i televisió. El manuscrit de Wiles, no obstant això, estava en mans d'uns pocs, ja que l'autor no volia publicar-lo fins que no es comprovés tots els aspectes tècnics que contenia la demostració.
I sembla que una part tenia llacunes (no errors) i fins que les cobrís l'últim teorema de Ferma hauria de continuar sent un problema obert. Amb aquest dubte vaig tancar la primera versió de l'article, però segons una notícia que s'ha ampliat fa uns dies, han fet el càlcul que faltava i encara que hem d'esperar a l'aprovació dels experts, sembla que aquesta vegada podrem posar el nom de teorema en el seu veritable sentit al resultat que ens va proposar Fermat.
Fermat
L'home que dóna nom al problema, Pierre de Fermat, va néixer en 1601 en Beaumont de Lomagne, un poble gascó situat en l'actual departament de Tarn i Garona. Era fill de família acomodada (el seu pare era comerciant) i va estudiar les Lleis en les Universitats de Tolosa, Bordeus i Orleans. A partir de 1631 va treballar com a advocat en el Parlament de Tolosa.
I és que, juntament amb Newton i Leibniz, el XVII. Fermat va estar en el cim de les matemàtiques del segle XX, mai es va dedicar totalment a la Matemàtica, sinó fora del treball. Però l'estructura de les Universitats d'aquella època era molt diferent a l'actual, i l'avanç de les Ciències va arribar sovint de científics no professionals. Va morir en Castres en 1655.
Durant la seva estada a Bordeus, Fermat es va servir, pel que sembla, d'estudiar l'obra del matemàtic François Viète i de la senzillesa de la seva redacció simbòlica. Diem també que Viète era més coneguda en el seu temps com a política i va ser conseller personal d'Enric IV (Enric III de Navarra). Les aportacions de Fermat poden veure's en tots els àmbits de la matemàtica: Va donar els inicis de la Geometria Analítica en la mateixa època de Descartes, va proposar mètodes de càlcul de màxims i mínims i de realització de quadratures en l'Anàlisi, encara que aviat els Càlculs Infinitesimals de Newton i Leibniz es van enfosquir i van sorgir com a camp independent amb la mateixa Teoria dels Números, com es diu.
En l'òptica, la llei de la refracció de la llum també es diu principi de Fermat i en els començaments de la Probabilitat apareix al costat de Pascal. No obstant això, encara no va gaudir de gran popularitat, ja que no va publicar llibres. Les seves obres ens han arribat en cartes, petites obres i manuscrits. El mer esment de totes les aportacions ens portaria molt temps i aquí ens unim a l'evolució de l'últim teorema de Fermat.
Hem d'anar al grec a la recerca de les primeres petjades, que per primera vegada es van ocupar dels números i les figures geomètriques. d. C. III. En el segle XIX, el matemàtic establert a Alexandria Diofanto va escriure uns llibres en els quals es recollia el coneixement de l'aritmètica grega. Aquests llibres van ser traduïts a l'àrab i la seva influència en les Matemàtiques àrabs va ser evident. En l'Edat mitjana, quan van arribar a l'oest d'Europa només quedaven sis dels catorze primitius. Quatre dels set llibres perduts recentment han estat trobats en el Messed de l'Iran, en 1971, en la traducció àrab.
Aquestes sis antigues figures van ser publicades per Bachet de Mériziac en 1621, afegint al grec la traducció i els comentaris en llatí. Aquesta va ser la principal font de resultats de la Teoria dels Números per a Ferma. De fet, en el mateix llibre escrivia Fermat les seves notes i comentaris i després de morir el seu fill es va encarregar de publicar-los amb les notes del pare Arithmetica de Diofanto.
Les primeres petjades al problema que ens ocupa es troben en els triples pitagòrics, és a dir, en el càlcul de nombres enters que compleixen l'equació x 2 + i 2 = z 2. Per exemple (3, 4, 5) o (5, 12, 13). Amb una mica de treball també es pot aconseguir una fórmula que dóna totes. Fermat va proposar utilitzar qualsevol altre exponent en lloc de preguntes generalitzades i quadrades. I en un dels extrems del llibre esmentat Arithmetica va escriure: “És impossible dividir un cub en dos cubs, i un desquadrat en dos parells o, en general, qualsevol altra remodelació que no sigui quadrada, en dues verdures del mateix exponent. He trobat una demostració meravellosa d'això, però aquesta vora de pàgina és massa petit per a entrar en ell”. És a dir,
x n + i n = z n
Fermat va defensar que l'equació no té una solució molt positiva quan n és major que dues. En altres resultats que ens va deixar sense proves només va quedar indemostrable uns anys després, i per això se'n diu l'últim teorema de Fermat, encara que el resultat no demostrat no mereix el nom de teorema.
Avui dia ningú creu que aquest resultat de Fermat fos una demostració. En les cartes només va esmentar el cas n = 3 i resol el mètode que va utilitzar el cas n = 4 per a un altre problema. És possible que d'aquests dos es consideri que la generalització era possible o que es cometi algun altre error, però no és possible determinar-lo.
Kummer
N'hi ha prou amb tenir en compte n = 4 i n la primera imparell, ja que totes les altres poden resumir-se en elles. XIX. A principis de segle només es coneixien els casos n = 3 i 4. Legendre va obtenir una resposta n = 5 en 1825 i Dirichlet, després d'una altra demostració en aquest cas, va estudiar el cas n = 7. Indemostrable, va resoldre n = 14 en 1832 i set anys després Lamé va arribar a respondre a n = 7. Mentrestant, l'Acadèmia francesa va oferir un premi a canvi d'una demostració completa.
El veritable avanç va arribar entre 1844 i 47 amb l'obra d'Ernst Kummer. Això va estudiar números molt cicllotómicos:
a 0 + a 1w +... + a n-1
de
a 0 , a 1 , ... , a n-1 enters
i
w = e 2</n (per tant de n = 1)
són.
Aquests números, igual que els enters convencionals, poden factorizarse en els nombres primers, però a diferència dels convencionals, en alguns casos pot haver-hi més d'una factorització per al mateix número. Al principi no es va adonar d'aquest problema i va cometre alguns errors, però després va crear la teoria dels números ideals per a solucionar-lo, d'una banda, i el cos de classes, per un altre. Per a mesurar el “dolent” que pot ser la factorització, va introduir el concepte de nombre de classes.
Referent a això va definir els primers números regulars i va demostrar que per a ells l'últim teorema de Fermat és cert. Va mostrar un criteri per a conèixer aquests números i dels nombres primers inferiors a 100 només 37, 59 i 67 són irregulars. La innovació de Kummer va suposar un avanç espectacular. A pesar que en 1850 l'Acadèmia Francesa va oferir per segona vegada el premi, anys després es va retirar i van decidir lliurar la medalla d'or del Gran Premi a Kummer, tal com va proposar Cauchy. Després Kummer va desenvolupar mètodes per a analitzar casos que faltaven per sota dels teixits però XX. A principis del segle Vandiver va omplir els forats que va deixar.
XIX. En el segle XVIII no es va avançar totalment però es van obtenir resultats parcials. XX. A principis del segle XX, en 1905, Paul Wolfskehl, de la Societat de Ciències de Götingen, va oferir cent mil marcs per a la primera demostració. El so dels diners, a més dels matemàtics professionals, va treure a la plaça als afeccionats i van arribar centenars de resolucions. Però tot en va. El valor del premi va quedar molt reduït per les devaluacions del marc, però hi ha els qui creuen que sense diners han provat amb mitjans totalment elementals.
XX. segle
XX. A mesura que la capacitat de càlcul dels ordinadors ha augmentat en el segle XX, ha estat possible realitzar comprovacions per als valors especials de n. Això no pot demostrar en cap cas tot el teorema, però si se sap que és cert per sota de n = 4.000.000 (d'aquí van arribar en 1993) difícilment pot deixar rastre per a creure el contrari. No obstant això, en Matemàtiques es necessiten proves.
El desenvolupament de la geometria algebraica va ser el responsable del XX. Canvi d'estratègia en el segle XX respecte a l'últim teorema de Fermat. Alguns problemes que han aparegut en els estudis de corbes i superfícies poden relacionar-se amb el teorema de Fermat. D'alguns dels aieros proposats en els tres camps (geometria diofàntica, superfícies aritmètiques i corbes el·líptiques) es deduïa immediatament la de Fermat.
En 1983 l'alemany Gerd Faltings va demostrar una conjectura proposada per Mordell seixanta anys abans i, en conseqüència, que les equacions x n + i n = z n són un nombre finit de solucions “realment” diferents per a cada n, quan n' 3. Què és el que realment significa diferent. Si el trio (3, 4, 5) compleix amb l'equació x 2 + i 2 = z 2, és evident (6, 8, 10), (9, 12, 15) i, en general, qualsevol múltiple compleix.
Totes elles podem considerar-les com una mateixa resolució. Però els trios (5, 12, 13) i (7, 24, 25) també són resolucions i no són iguals. I és fàcil observar que en n = 2 les diferents solucions són infinites. Segons el teorema de Faltings això no ocorre quan n Ž 3. L'objectiu és demostrar que no hi ha cap, però va ser un pas endavant. A més de Mordell, Faltings va resoldre altres dues grans conjectures que li van valer en 1986 la medalla Fields.
D'altra banda, fa uns sis anys Miyaoka va reivindicar una diferenciació relacionada amb les superfícies aritmètiques (Bogomolov-Miyaoka-Yau). Si hagués estat cert, almenys per als majors d'un valor fix de n hauríem arribat a la conclusió que es compleix l'últim teorema de Ferma, però van trobar un error a la demostració i ens quedem en el mateix estat.
L'obra de Wiles se situa en el camp de les corbes el·líptiques. En 1955 el matemàtic japonès Yukata Taniyama va proposar una conjectura que va ser determinada en la dècada vinent per Goro Shimura. En la terminologia algebraica diu: “Qualsevol corba el·líptica, modular, sobre nombres racionals”. Durant molts anys a ningú se li va ocórrer que aquesta conjectura pogués tenir a veure amb el teorema de Fermat, fins que l'alemany Gerhard Frey en 1985 va afirmar que l'aieru Taniyama-Shimura és més dur que el teorema de Fermat, és a dir, que la demostració de la primera porta amb si la segona. No va ser capaç de concretar, però en els pròxims anys va quedar clar que Frey estava bé amb el treball que Jean Pierre Serre va dirigir i va acabar amb Kenneth Ribet.
L'objectiu del treball d'Andrew Wiles en els últims anys ha estat la conjectura de Taniyama-Shimura. Malgrat no demostrar el cas més general, suposadament va aconseguir comprovar-lo per a moltes corbes i el que deixaven decidit el teorema de Fermat que hi havia en elles. Segons els experts, la demostració tenia molta credibilitat i per això la notícia es va difondre per tot el món. Com és costum, abans de la seva publicació, el treball va quedar en mans d'uns experts per a la seva aprovació. Mesos després, comencem a sentir que alguna cosa estava equivocat.
Intentant aclarir les coses, el propi Wiles va publicar al desembre de 1993 una nota en la qual reconeixia que en el seu manuscrit van trobar uns punts que calia completar en la revisió i que havia solucionat la majoria d'ells, però que un s'havia escapat, la qual cosa exigia que no podíem donar per conclosa la seva obra fins que dominés el càlcul. Per cert, en la primavera va donar detalls del que havia fet i del que faltava per al curs que anava a impartir.
La primavera i l'estiu van ser, i com no hi havia més notícies, vaig acabar el primer esborrany d'aquest article amb això i potser en breu es podia arribar a la demostració. Però quan estava fent l'última redacció i les correccions, va arribar la notícia que esperàvem.
Es va obrir el 25 d'octubre de 1994, encara que amb menor intensitat que l'anterior. Tal com va quedar en les Universitats la necessitat de revisar després d'aquella eufòria inicial, probablement també es limitarà als entorns professionals. Diuen que el problema a resoldre s'ha abordat per un altre camí i han tingut èxit. Wiles va prendre la prudència el passat dia i va deixar el manuscrit en mans d'uns pocs.
Aquesta vegada també ho faria, clar, però com el 25 d'octubre ha fet el manuscrit, podem considerar-lo com un senyal amb seguretat. I amb ell ve el seu segon treball amb Richard Taylor, que sembla indicar com es pot fer el càlcul que faltava en l'inicial. L'experiència ens demostra que fins que arribin les últimes benediccions no podem dir que tinguem una demostració definitiva. Però, al mateix temps, cal dir que tenim moltes raons per a creure que el problema que es va convertir en els famosos maldecaps dels matemàtics durant 350 anys està resolt. I com s'ha dit en les bromes, Fermín tenia raó quan va escriure que no cabia en la vora de la pàgina.
Gai honi buruzko eduki gehiago
Elhuyarrek garatutako teknologia
