Fourier-en transformatua

Zer dago zientzialarien tresneria garestiaren atzean? Nola prozesatzen dira makina horiek jasotzen dituzten datuak? Oro har, ez zaigu asko axola. Ordenagailu batek jasoko ditu neurketak, eta grafiko moderno baten bidez islatuko ditu emaitzak. Gainera, zenbat eta tresneria garestiagoa izan, orduan eta zehatzagoa eta hobea izango da.

Ikuspuntu horretatik ikusita, lan handia geratzen da ezkutuan. Nola gertatu da prozesu hori? Ordenagailua oso ahaltsua bada ere, lana nola egin behar duen irakatsi egin behar zaio. Datuak emandakoan emaitzak kanpora ditzan, tratamendu konplexuak egiteko prestatu behar da. Ia zientziaren esparru guztietan, lan neketsu hori matematikariek prestatzen dute, eta datu oszilakorrak dituzten neurketetan, gainera, Fourierren transformatua erabiltzen da.

Lurraren ikarak

Adibide batez jarraituko diogu bidea Joseph Fourier matematikariak asmatutakoari. Demagun sismografo digital bat martxan jartzen dela lurrikara asko izaten diren lurralde batean. Gailu horrek zoruaren mugimendua neurtzen du etengabe; neurketa bakoitzean, orekatik zenbat desplazatu den erregistratzen du, eta, horrela, lurrikarak bibrazioen bidez detektatzen ditu. Uhin sismiko txikienak ere neurtu behar dira; horrela, aktibitatearen maiztasuna eta intentsitatea zenbatekoak diren jakin daiteke.

Demagun sismografoak 5 datu jasotzen dituela segundo batean; orduan, eguneko 432.000 zenbaki metatu eta prozesatu beharko dira.

Hainbeste zenbakiren segida bat, ordea, ez da oso erabilgarria. Egia esan, grafiko batean adieraziz gero, lurrikarak noiz gertatu diren eta indartsuak izan diren ala ez hobeto ikusten da. Hala eta guztiz ere, eragiketak eta kalkuluak egiteko, zenbakiak funtzio matematiko moduan izatea da onena. Funtzio horrek uhin sismikoaren anplitudea denborarekin nola aldatu den adierazten du, hau da, azken batean, lurraren mugimenduen etenik gabeko erregistroa da.

Horretan datza, hain zuzen, zailtasunik handiena: nola lor daiteke milaka punturi ondo egokitzen zaion funtzioa kalkulatzea? Egia al da formula matematiko bakar bat izan daitekeela jasotako edozein zenbaki-zerrendaren ordezkari? Neurketa oszilakorrak direnean, Fourierren transformatuaren bitartez lortzen da hori. Zailtasun handi hori erraz gainditzeko metodologia bat asmatu zuen matematikari frantsesak.

Itxura konplexuko kurbak

Sismologoak marraz ditzake egunean zehar lortutako 432.000 puntuak, eta, besterik gabe, elkarlotuta, kurba bat lortuko du. Baina egun horretan aktibitate sismikoa izan bada, kurba hori oso konplexua izango da. (Noski, aktibitate sismikorik ezean neurketa guztiak zero izango dira eta sismologoaren lanak ez du zentzurik izango). Horrelako kurba konplexu batekin, ordea, oso zaila da edozer gauza kalkulatzea.

Fourierren tratamenduaren oinarria kurba konplexu horren deskonposaketa da. Haren teoriaren arabera, edozein funtzio idatz daiteke maiztasun ezberdineko sinuen eta kosinuen batura bezala. Zer esan nahi du horrek? Ideia horren arabera, funtzioa kalkulatu beharrean, funtzio sinpleen arteko batura bat erabil daiteke. Irudian ideia horren adibide bat ikusten da:

Funtzio konplexua (gorria) funtzio sinpleen (urdinek) batura da. Irudian lau funtzio bakarrik daude batuta, baina ehunka erabiliz gero, batura oso ondo doi dakieke jasotako datu esperimentalei.

Metodologia horrek kalkuluak errazten ditu, baina beste abantaila batzuk ere baditu; datuen maiztasunen analisia egitea ahalbidetzen du. Batura horren terminoak, 'funtzio sinple' horiek alegia, oszilakorrak dira, baina bakoitza maiztasun batekin lotuta dago. Termino guztietan erabilitako maiztasunak hasierako baten multiploak dira. Esan daiteke funtzio sinple batek maiztasun jakin baten ekarpena adierazten duela bilatu nahi den funtzio orokorrean. Zientzialarientzat oso erabilgarria da hori.

Sismologoak, adibidez, aldi berean gertatu diren bi uhin sismiko bereiz ditzake, bakoitzak berezko maiztasun batekin bibratzen duelako. Era berean, interferentziak detekta ditzake, eta sismografoak duen hondo-zarataren eragina bazter dezake emaitzetatik.

Maiztasun-espazioa

Beste esparru askotan ere arrazoi berarengatik da erabilgarria Fourierren analisia. Soinuaren tratamendua da adibiderik garbiena. Soinua digitalki grabatzen denean, grabagailuak berak sortzen du hondo-zarata. Soinu hori 'garbitzeko' dagokion maiztasuna bilatu eta termino hori funtziotik kentze hutsak zarata desagerrarazten du seinaletik. Optikan ere hala gertatzen da, argazkien tratamenduan adibidez.

Oinarrizko ideia, beraz, funtzio konplexu bat sinusoide-itxurako funtzio sinpletan deskonposatzea da. Matematikarien hizkeran, funtzioa denbora-espaziotik maiztasun-espaziora transformatu behar da. Horrek esan nahi du hasieran erreferentzia denbora dela eta gero, berriz, aukeratutako maiztasunen multzoa. Urrats hori egiteko prozedura matematikoa Fourierren transformatua da.

Matematikaria eta egiptologoa

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) matematikari frantsesaren bizitzari so eginez gero, XIX. mendeko Europaren egoera nolakoa zen igartzen da: jarduera profesional handia izan zuen, hiru arlotan batez ere. Betidanik matematikan iaioa, politikan eta arkeologian ere jarduera handia izan zuen.

Matematikari izateagatik izan du ospea XIX. mendearen hasieratik. Bi dimentsioko gorputzetan beroa nola eroaten den aztertu nahian, zientziaren ia esparru guztietan aplikazioa duen metodologia bat garatu zuen. Gaur egun metodologia horri Fourierren transformatua deritzo. Baina transformatua garatzeko urte asko eman zituen lanean: 1807an hasi zen Grenoblen eta 1822an bukatu zuen Parisen.

Politikan Iraultza Frantsesaren eskutik sartu zen. Napoleonek Egiptora egindako espedizioan parte hartu zuen; han, antzinako zibilizazioaren aztarnak ikertu zituen eta, Frantziara itzuli zenean, ikasitakoa Egiptoren deskribapena liburuan laburbildu zuen.

Fourier garaiko zientzialari arrakastatsua izan zen, eta, horregatik, Zientziaren Akademiako, Akademia Frantseseko eta Medikuntza Akademiako kidea izatera iritsi zen.

Aplikazioak ...

Komunikazioak

Telekomunikazioetan seinale elektrikoak maiztasunen bitartez kudeatzen dira.

Komunikazioetan seinaleak elektrikoak izaten dira, hau da, tentsio-pultsu soilak. Baina seinale horiek anplifikadoreetan, iragazkietan eta komunikazio-kanaletan zehar egiten dute bidaia, eta inguru horiek modu askotan eralda ditzakete. Eraldatze horiek nola gertatzen diren ulertzeko, Fourierren transformatua ezinbestekoa da. Azken batean, seinale elektriko horiek maiztasunen arabera kudeatzen dira. Seinale digitalean ere (0z eta 1ez osatutakoa) maiztasunak bereiztea beharrezkoa da. Seinale horien tentsio-pultsuak maiztasunen banda-zabaleran egokitu behar dira, eta, horretarako, Fourierren transformatua erabili behar da.

Sismologia

Lurrikara baten sismograma.

Uhin sismikoek berezko maiztasunak dituzte. Horiek aztertuta, uhin-mota eta jatorria zein diren jakin daiteke. Lurrikarak eta plaka tektonikoak ikertzeko etengabe erabiltzen da analisi hori, baina ez da aplikazio bakarra. Besteak beste, petrolioaren eta gasaren industrian iturri berriak bilatzeko ere asko erabili da. Bestalde, uhin sismiko naturalak eta leherketa nuklear batek eragindakoak bereizteko erabiltzen da ikerketa-mota hori. Bereizte horiek maiztasunen araberakoak dira, eta, horregatik, Fourierren transformatua ezinbestekoa da datuen tratamendu matematikoan.

Sonarra

Sonarren funtzionamenduaren eskema.

Uretan edozer gauza detektatzeko balio du teknika horrek. Oinarrizko funtzionamendua oso sinplea da: soinu-uhinak igortzen dira hondorantz, eta, zerbaiten aurka talka egiten duenean, uhinak errebotatu egiten du (oihartzuna). Islatutako uhinaren intentsitatea, maiztasuna eta islatze-denbora aztertuta, objektua non dagoen eta nolakoa den jakin daiteke. Maiztasunen analisia Fourierren transformatuaren bitartez egiten da.

Espektroskopia

Laser bidezko espektroskopia.

Substantzia baten osagai kimikoak zein diren jakiteko erabiltzen da espektroskopia; energia ematen zaionean molekula bakoitzak berezko erantzuna du. Molekulak energia-kantitate jakin bat 'xurgatzen' edo askatzen du, uhin elektromagnetikoen bitartez. Uhin horien maiztasunen analisiak ematen dio kimikariari molekulak identifikatzeko aukera.

Akustika

Grabazio-estudioetan maiztasunak banaka trata daitezke.

Soinua maiztasun askoren nahastea da. Instrumentu baten tinbrea, adibidez, harmonikoen ekarpenen arabera osatzen da. Horregatik, soinua seinale elektriko bihurtzen denean, Fourierren analisia ezinbestekoa da, bai tratamendu digitalean bai eta analogikoan ere. Esate baterako, ekualizatzea maiztasun-tarteekin jokatzea besterik ez da.

Astronomia

Artemis satelitea, informazio-igorlea.

ESA

Irrati-teleskopioz argirik islatzen ez duten hainbat gauza ikus daiteke. Adibidez, Artizarraren azala hodei-geruza trinko batez inguratuta dago. Baina astronomoek irrati-uhinen bitartez miatu ahal izan dute planeta horren azala. Are gehiago, errotazioaren periodoa kalkulatzeko, azalean uhin horiek nola islatzen diren hartu behar da kontuan. Azterketa horiek maiztasunen analisia eskatzen dute.

Optika

Laserrarekin egindako esperimentu optikoak.

Fourierren transformatuak prisma baten antzerako efektua sortzen du argian: dituen osagaiak, hau da, uhin-luzera ezberdineko argi-izpiak, bereizten ditu. Dena dela, hori matematikoki egiten da; horrek esan nahi du argiaren efektu fisikoak matematikoki azter daitezkeela. Adibidez, zirrikitu batetik pasatzean, argian difrakzioaren eragina nolakoa izango den jakin daiteke. Argi ikusgaiari aplikatzen ari zaion analisi horrek beste edozein uhin-luzerarako ere balio du: mikrouhinak, X izpiak, infragorriak eta abar.