Formigó i cristall sobre una fórmula

La catedral de St. Paul de Londres estava a punt de caure quan anava a començar a construir la cúpula gegant superior, en 1697. Era clar que la fonamentació s'enfonsaria si es posava massa pis damunt i l'edifici s'anava a derrocar. Per tant, era impossible mantenir el disseny original; l'arquitecte Christopher Wren havia d'alleujar la cúpula i la seva llanterna. Però com?

La solució va ser totalment innovadora en l'àmbit de l'arquitectura. El miracle va venir d'un descobriment del matemàtic Robert Hooke: la forma, la catenària, d'una cadena penjada de dos punts, distribueix les forces i les tensions d'una manera immillorable i, bolcant aquesta forma, manté la distribució de les tensions. Per tant, un arc construït amb aquesta geometria és especialment estable. Hook va expressar aquesta idea en llatí: Ut pendet continuum flexible, sic stabit contiguum rigidum inversum . És a dir, un arc rígid amb volteig però amb la mateixa forma que un cable flexible penja dels seus extrems.

Aquesta idea, a més d'en els arcs, també funciona en les cúpules, si s'ha creat fent girar la geometria de l'arc. Conscient d'això, Christopher Wrene va idear un nou disseny, una nova estructura de tres cúpules: dues cúpules interiors i exteriors, sorgides de la forma d'una catenària, i una tercera intermèdia per a mantenir el pes de la llanterna. Wrene va dissenyar la cúpula intermèdia a partir de la forma en la qual es penja una cadena i es col·loca un pes en el centre. Voltejant aquesta forma forçada, l'estructura és estable si hi ha una llanterna en el lloc del pes. Aquest truc matemàtic de Wren canalitza les forces de forma molt eficaç cap avall, la qual cosa fa que, malgrat tenir tres cúpules, tot el sistema sigui prou lleuger. Tres segles després, la catedral de St. Paul de Londres segueix en peus.

Seducció de formes

Raúl Ibáñez és matemàtic de la UPV. És un geometrista dedicat a la divulgació. Divulgamat és la coordinadora de la web de divulgació, el centre virtual de divulgació matemàtica, entre altres. Ed. Guillermo Roa/Fundació Elhuyar

"Les cases normalment es fan quadrades, però has de ficar-li bigues molt fortes perquè si no et cau", afirma el matemàtic i divulgador de la UPV Raúl Ibáñez. Ibáñez explica que les formes quadrades (cubs) són molt bones per a acumular estructures, però no són estables, mentre que les formes triangulars (tetraedre) sí. "El triangle és rígid i és, precisament, la forma bàsica que sosté molts edificis; l'edifici del BEC, molts aeroports o poliesportius, les cúpules geodèsiques de Bucky Fuller, etc. són estructures realitzades en triangle. Els triangles donen estabilitat a la construcció. Les grues típiques de construcció no són edificis, però hi ha un exemple d'estabilitat, són robustes gràcies als triangles".

No obstant això, l'aportació de les matemàtiques en l'estabilitat dels edificis és molt més complexa. Diverses geometries presenten una estabilitat suficient per a suportar l'edifici. De fet, molts prestigiosos arquitectes han basat el seu treball en aquesta idea. "La filosofia dels mestres Antoni Gaudí i Eduardo Torroja és que la mateixa forma és bella, no sols per l'estètica, sinó perquè la forma dóna estabilitat a l'edifici", afirma Ibáñez.

El treball de Gaudí és molt conegut. Va construir molts grans edificis, que en molts casos s'han convertit en símbols locals. Els seus dissenys van obrir noves portes en l'arquitectura i van basar la innovació no sols en el concepte estètic, sinó també en les matemàtiques. "Gaudí va portar a l'extrem l'ús de la catenària", explica Ibáñez. "Destaquen el col·legi dels Teresians de Barcelona, la casa Batlló i, sobretot, la casa Milá, coneguda comunament com La Pedrera. La terrassa superior és un recorregut de catenària al voltant de tota la casa".

Rogelio Deu és enginyer. Va participar en el projecte del Museu Guggenheim Bilbao en l'empresa IDON. Ells adaptaven les idees de Gehry al context de Bilbao. Ed. © Rogelio Deu

La cerca de formes geomètriques que aportin estabilitat era una gran feina. Gaudí passava molt de temps buscant la geometria necessària. Va passar deu anys, per exemple, en el disseny de l'església de la colònia Güell. Treballava sobre una maqueta, de manera similar a la realitzada dos-cents anys abans per Christopher Wrene, és a dir, afegint cordons i pesos en una maqueta suspesa mentalment. "La maqueta de l'església de la colònia Güell era de sis metres de llarg i quatre d'alt", afirma Ibáñez. "L'escala era 1.10 en grandària i 1.10.000 en pes. En acabar, va treure una foto, va bolcar la imatge i va dibuixar el que havia de ser l'església. Gaudí era molt especial. Però, clar, després havia de fabricar aquestes formes. Per a crear les formes desitjades utilitzava paraboloides, hiperboloides i tot tipus d'elements geomètrics. Desgraciadament aquella església no va acabar de construir-se". Però tant aquests edificis com l'església de la Sagrada Família són fantasies matemàtiques de Gaudí, més ben dit, fantasies geomètriques. "Per a ell, a més, les matemàtiques i la geometria eren coses úniques", diu Ibáñez somrient, perquè ell era un geometrista.

XX. El madrileny Eduardo Torroja de principis del segle XX també és considerat mestre pels arquitectes, encara que no era arquitecte. Era enginyer de camins. No és tan conegut com Gaudí, en paraules d'Ibáñez "potser perquè no va construir molts edificis monumentals i els que va fer van ser derrocats en la Guerra Civil espanyola". Però tenia molt de sentit i va ser excepcional en l'explotació de recursos matemàtics per a aconseguir l'estabilitat. Un bon exemple és la coberta de l'hipòdrom de la Zarzuela a Madrid. Està basat en hiperboloides monosuperficiales: un recurs geomètric habitual en l'arquitectura actual per a la construcció de construccions fantàstiques.

Mantenir la respiració en deixar anar l'estructura

La cúpula de la catedral londinenca de St. Paul és completament innovadora en arquitectura. Christopher Wrene va dissenyar tres cúpules partint de la forma de la catenària. L'estudi d'aquesta forma era una matemàtica capdavantera. A la fi del segle XX. Ed. © Jan Skwara/350RF

És cert que la geometria dels edificis no és l'únic factor a considerar. Aquestes geometries són estructures físiques. L'estadi dels Jocs Olímpics de 2008, l'Estadi Nacional de Pequín, és un exemple representatiu. Se'n diu niu. El pseudònim és apropiat perquè es tracta d'un niu fabricat per un ocell: l'estructura està formada per un gran grup de tirants, aparentment caòtic, però amb una matemàtica molt complexa en el seu disseny. En la seva construcció es van instal·lar els tirants un a un i després es van unir per a crear una única estructura. Durant el procés de construcció es van emprar molts suports per a mantenir els tirants on era necessari. I quan tots estaven units, es van retirar els suports. Molt a poc a poc, però en tot l'estadi alhora. En definitiva, l'estructura estable de l'edifici havia d'alliberar-se "" i mantenir-se dempeus per si mateixa, amb una geometria concreta i precisa. Va ser un moment especial. Els constructors van aguantar la respiració i van prémer el botó que llevava els suports.

Què pot passar? Caiguda de l'edifici al sòl? L'enginyer Rogelio Deu creu que no. Deu està inclòs en el projecte del Museu Guggenheim Bilbao des de 1992. Quan van construir l'edifici treballava en l'empresa IDON, que adaptaven el concepte que venia de l'oficina de l'arquitecte Frank Gehry a la realitat de Bilbao per a poder construir el museu. Per això, Deu va veure molt de prop la construcció del museu. "[En edificis singulars] quins són els riscos? Perquè no sé... però pot haver-hi un error, per exemple, en la grandària d'una peça".Però avui dia tot està molt ben calculat. "Ja saps la força que suportarà cada element en retirar la bastida. I saps que aquests elements seran de fàcil conservació. Els programes informàtics que simulen la realitat són molt precisos en l'actualitat; tenen una precisió mil·limètrica".

L'estadi de Pequín no va caure. Al no ser materials totalment rígids, tota l'estructura presentava un punt de flexibilitat. En conseqüència, en retirar els suports, l'estadi havia d'adoptar la forma final. Havia d'assentar-se i així ho va fer. Els experts disposaven de nombrosos sensors per a mesurar aquesta fixació i relaxació. En alguns llocs hi havia una distància aproximada de 20 centímetres des de la posició de la bastida fins a la posició final. Tal com es calcula.

La maqueta va ser elaborada per Gaudí per a dissenyar l'església de la colònia Güell. Va penjar a l'inrevés i va provar durant deu anys les catenàries per a completar la seva estructura. Ed. Canaan/CC_BY-SA

Aquest alliberament de l'edifici es produeix, en major o menor mesura, amb nombrosos edificis moderns. Amb estructures similars al Museu Guggenheim Bilbao, a més, hi ha una raó addicional per a tenir un moment de nerviosisme: els elements de l'edifici no són autònoms individualment. "L'estructura no és estable fins que estigui totalment acabada", diu Deu. "Va ser un maldecap. Tu saps que un volum és estable perquè té una geometria determinada i la topologia és tancada. Però la meitat d'un element, per exemple, no és estable. Per això, no són estables fins que es munten tots els elements junts."

L'estrella de Bilbao

El Museu Guggenheim Bilbao està realitzat en tres capes. Presenta en primer lloc una estructura primària amb els elements bàsics de l'edifici. La segona capa és una estructura més lleugera d'alumini que li donaria la forma dissenyada per Gehry. I el tercer és la superfície exterior, és a dir, la capa de làmines de titani que li donen forma exterior; en realitat es tracta de plaques galvanitzades, material impermeable i damunt titani. Gràcies a aquesta estructura estratigràfica, l'edifici presenta una forma fantàstica.

Imatge d'un estel de la Sagrada Família des de l'interior. En aquesta mena d'estructures, Gaudí utilitzava paraboloides, hiperboloides i moltes altres formes geomètriques per a construir formes espectaculars. Ed. © Constantin Yolshin/350RF

"En el Museu Guggenheim l'exterior són les superfícies de Bezier", explica el matemàtic Raúl Ibáñez. "Les superfícies Bezier són útils perquè creen una forma estable a partir d'uns punts determinats per l'arquitecte". A l'origen, les corbes i superfícies de Bezier es van emprar en la indústria de l'automòbil. Un enginyer de l'empresa Renault, el francès Pierre Bezier, va utilitzar el disseny dels seus cotxes. Matemàticament són poc complexos i són bons recursos per a crear formes estables i aerodinàmiques. "Matemàticament és la generalització del paraboloide hiperbòlic i hiperboloide", afirma Ibáñez. Les corbes i superfícies de Bezier van arribar des del sector d'automoció a programes de disseny gràfic. S'usaven en programes CAD i després van tenir èxit en els recursos de tractament de gràfics. Photoshop és un bon exemple en el camp del tractament d'imatges, però no és l'únic. I és que Bezier s'ha convertit en una invenció estàndard.

Així mateix, en enginyeria i arquitectura també s'utilitzen diàriament les corbes Bezier. El dissenyador no ha de crear totes les formes amb gran precisió. Partint d'una maqueta bàsica, el programari calcula aquestes formes. Així neix el Museu Guggenheim Bilbao amb el programa CATIA. De fet, era un programari desenvolupat per a la indústria aeronàutica.

"Frank Gehry, quan té una idea, treballa aquesta idea sobre unes maquetes", afirma l'enginyer Rogelio Deu. "Realitza una maqueta de tot l'edifici i maquetes de diferents volums. Bàsicament és paper i cartó. Són maquetes toves. Ell no talla res. I quan dóna per acabades les maquetes les digitalitza a través d'un llapis òptic: marcant els punts del volum de la maqueta en l'espai, introdueix aquestes dades a l'ordinador. I les superfícies les calcula el propi ordinador. Jo en aquella època només coneixia la digitalització d'un pla. Vaig començar a veure a Gehry fent el mateix en tres dimensions".

L'Estadi Nacional de Pequín, àlies Habia, una estructura aparentment caòtica, però en la pràctica un clar exemple de matemàtica d'estabilitat. Ed. Peter23/CC_BY

El resultat és una maqueta virtual amb la part geomètrica realitzada. Però el treball de l'ordinador no ha fet més que començar. Simulació física del model tridimensional. Per a això s'accedeix a un altre programa i es calcula la força i tensió que suporta cada element.

"La força principal a tenir en compte és la força de gravetat", explica Deu. "El vent també cal tenir-lo en compte, no cal descartar-lo del tot, però la força principal és la gravetat. Tots els esforços de la gravetat es dirigiran a la fonamentació a través dels components de l'estructura de l'edifici. Per tant, introduint les dades dels components en l'ordinador i la distribució de totes les càrregues, l'ordinador t'indicarà on has d'afegir una columna. A vegades això no és factible i llavors l'instint i la ment són fonamentals. Canvia i torna a l'ordinador". I aquest procés es genera amb repeticions suficients. El Museu Guggenheim Bilbao va néixer així en l'ordinador. "Algunes característiques del disseny de Gehry no es podien fer i va caldre afegir més elements. La galeria més gran, per exemple, té arcs addicionals coberts de pladur."

La fantasia cau també

El disseny de l'edifici del Museu Guggenheim Bilbao no es basa en una sola forma matemàtica. És una combinació complexa i estable per la integració de totes les parts. Si s'agafen per separat no estarien dempeus. Ed. © Guggenheim Bilbao

Els edificis es construeixen amb gran feina de geometria. I així s'obtenen, per exemple, edificis que aparentment haurien de caure però no cauen. No obstant això, cal tenir en compte un últim factor. Deu ho té clar: "Crec que totes les coses tenen una data de caducitat. Els edificis no són per sempre. No preguntis si duraran cent o dos-cents anys, això no es pot saber". Els materials de construcció tenen molt a veure. "Se sap que una estructura de fusta dura uns 300 anys. Sabem que les estructures de formigó duren més de cent anys, però encara no hi ha edificis de formigó armat construïts fa 300 anys. Es desconeix la seva durada. L'estructura del Museu Guggenheim Bilbao és de formigó armat i metall. Sembla que durarà molt sense caure a terra, però no sabem". Per això es realitza una auditoria al Museu Guggenheim Bilbao. La topografia dóna mil·límetres de precisió als del grup Deu per a saber quant es mou l'edifici. "Tots els edificis estan en un moviment continu".

A la vista enrere de la història, hi ha edificis fantàstics que han caigut i no han caigut. De tots ells han après arquitectes i enginyers. A més d'oferir un tema d'estudi sobre la durada dels edificis, obren una nova porta per a analitzar com es van construir construccions fantàstiques amb tecnologia limitada d'antany. L'arquitectura europea de fa vuit segles, per exemple, és exemplar. En el nord de França es van inventar catedrals de fantasia. Sorprèn com ho van fer.

Butllofes jabonosas en disseny

El símbol dels Jocs Olímpics de Munic de 1972 va ser l'estadi. La coberta té forma de tela, és com si l'estadi i els seus voltants estiguessin coberts per unes teles gegants. Per a la realització d'aquesta estructura, l'arquitecte Frei Otto va utilitzar butllofes jabonosas, ja que la combinació de butllofes genera superfícies minimales i el seu aspecte és molt estable. Són superfícies de superfície mínima i geometries amb mínima tensió superficial en el cas del sabó.

L'Estadi Olímpic de Munic va ser dissenyat per l'arquitecte Frei Otto. Per a això submergia els pals i cordons en una banyera plena de butllofes jabonosas i va definir l'estructura a partir de les butllofes que es pegaven a elles. Ed. Llaureu Mojtahedi/Domini Públic

Una sola butllofa de sabó és una esfera. "Però l'esfera no és una geometria estable", afirma el matemàtic de la UPV Raúl Ibáñez. "No es tracta d'una superfície minimal, sinó d'un punt crític, per la qual cosa presenta problemes d'estabilitat molt elevats". Pràcticament qualsevol canvi produït en una esfera altera substancialment la seva estabilitat. Es trenca i cau. Per contra, la combinació de butllofes i les butllofes associades a diferents estructures proporcionen superfícies minimales.

És el que va fer Frei Otto per a dissenyar l'estadi de Munic. Ibáñez diu que és un exemple típic: "Otto investigava i construïa l'estructura creant una estructura amb pals i cordons i submergint-la en una banyera plena de butllofes de sabó. Després ho treia i ho analitzava".