Béton et verre sur une formule

La cathédrale Saint-Paul de Londres était sur le point de tomber quand il allait commencer à construire le dôme géant supérieur, en 1697. Il était clair que la fondation coulerait si elle était trop plat dessus et le bâtiment allait être abattu. Il était donc impossible de maintenir le design original ; l'architecte Christopher Wren devait soulager la coupole et sa lanterne. Mais comment ?

La solution a été totalement innovante dans le domaine de l'architecture. Le miracle est venu d'une découverte du mathématicien Robert Hooke: la forme, la caténaire, d'une chaîne suspendue à deux points, distribue les forces et les tensions d'une manière imbattable et, en volant cette forme, maintient la distribution des tensions. Par conséquent, un arc construit avec cette géométrie est particulièrement stable. Hook a exprimé cette idée en latin: Ut pendet continuum flexible, sic stabit contiguum rigidum inversum . C'est-à-dire, un arc rigide avec renversement mais de la même manière qu'un câble flexible suspend ses extrémités.

Cette idée, en plus des arcs, fonctionne également sur les dômes, si elle a été créée en tournant la géométrie de l'arc. Conscient de cela, Christopher Wrene a conçu un nouveau design, une nouvelle structure de trois coupoles: deux coupoles intérieures et extérieures, émergées sous la forme d'une caténaire, et un troisième intermédiaire pour maintenir le poids de la lampe. Wrene a conçu le dôme intermédiaire à partir de la façon dont une chaîne est suspendue et placé un poids au centre. Retournant cette forme forcée, la structure est stable s'il y a une lampe de poche à la place du poids. Ce truc mathématique de Wren canalise les forces très efficacement vers le bas, ce qui rend tout le système suffisamment léger malgré trois coupoles. Trois siècles plus tard, la cathédrale Saint-Paul de Londres est toujours debout.

Séduction de formes

Raul Ibáñez est mathématicien de l'UPV. C'est un géométrique dédié à la divulgation. Divulggamat est la coordinatrice du site de divulgation, le centre virtuel de divulgation mathématique, entre autres. Ed. Guillermo Roa/Fondation Elhuyar

« Les maisons sont normalement carrées, mais vous devez mettre des poutres très fortes parce que si vous ne tombez pas », affirme le mathématicien et vulgarisateur de l'UPV Raúl Ibáñez. Ibáñez explique que les formes carrées (cubes) sont très bonnes pour accumuler des structures, mais elles ne sont pas stables, tandis que les formes triangulaires (tétraèdre) oui. "Le triangle est rigide et c'est précisément la forme de base qui soutient de nombreux bâtiments; le bâtiment du BEC, de nombreux aéroports ou polysportifs, les dômes géodésiques de Bucky Fuller, etc. sont des structures réalisées en triangle. Les triangles donnent de la stabilité à la construction. Les grues typiques de construction ne sont pas des bâtiments, mais il y a un exemple de stabilité, elles sont robustes grâce aux triangles ».

Cependant, la contribution des mathématiques dans la stabilité des bâtiments est beaucoup plus complexe. Plusieurs géométries présentent une stabilité suffisante pour supporter le bâtiment. En fait, de nombreux architectes prestigieux ont basé leur travail sur cette idée. « La philosophie des maîtres Antoni Gaudí et Eduardo Torroja est que la même forme est belle, non seulement pour l'esthétique, mais parce que la forme donne la stabilité au bâtiment », affirme Ibáñez.

Le travail de Gaudí est bien connu. Il a construit de nombreux grands bâtiments, qui sont souvent devenus des symboles locaux. Ses créations ont ouvert de nouvelles portes sur l'architecture et ont fondé l'innovation non seulement sur le concept esthétique, mais aussi sur les mathématiques. « Gaudí a poussé à l'extrême l'utilisation de la caténaire », explique Ibáñez. « Soulignons le collège des Thérésiens de Barcelone, la maison Batlló et surtout la maison Milá, communément appelée La Pedrera. La terrasse supérieure est un parcours de caténaire autour de toute la maison".

Rogelio Diez est ingénieur. Il a participé au projet du Musée Guggenheim Bilbao dans l'entreprise IDON. Ils adaptaient les idées de Gehry au contexte de Bilbao. Ed. © Roger Dix

La recherche de formes géométriques qui apportent la stabilité était un grand travail. Gaudí a passé beaucoup de temps à chercher la géométrie nécessaire. Il a passé dix ans, par exemple, dans la conception de l'église de la colonie Güell. Il travaillait sur une maquette, similaire à celle réalisée deux cents ans plus tôt par Christopher Wrene, c'est-à-dire en ajoutant des lacets et des poids dans une maquette suspendue mentalement. « La maquette de l'église de la colonie Güell était longue de six mètres et haute de quatre », affirme Ibáñez. "L'échelle était 1:10 en taille et 1:10.000 en poids. À la fin, il prit une photo, renversa l'image et dessina ce que devait être l'église. Gaudí était très spécial. Mais, bien sûr, je devais ensuite fabriquer ces formes. Pour créer les formes désirées, il utilisait des paraboles, des hyperboloïdes et toutes sortes d'éléments géométriques. Malheureusement, cette église n'a pas fini de se construire". Mais ces deux bâtiments et l'église de la Sagrada Familia sont des fantasmes mathématiques de Gaudí, ou plutôt des fantasmes géométriques. "Pour lui, en outre, les mathématiques et la géométrie étaient des choses uniques", dit Ibáñez souriant, parce qu'il était un géométrique.

XX. Le madrilène Eduardo Torroja du début du XXe siècle est également considéré comme un maître par les architectes, même s'il n'était pas architecte. Il était ingénieur des chemins. Il n'est pas aussi connu que Gaudí, selon les mots d'Ibáñez "peut-être parce qu'il n'a pas construit beaucoup de bâtiments monumentaux et ceux qu'il a fait ont été démolis dans la guerre civile espagnole". Mais il avait beaucoup de sens et était exceptionnel dans l'exploitation des ressources mathématiques pour obtenir la stabilité. Un bon exemple est la couverture de l'hippodrome de la Zarzuela à Madrid. Elle est basée sur des hyperboloïdes monosuperficiels : une ressource géométrique habituelle dans l'architecture actuelle pour la construction de constructions fantastiques.

Garder votre respiration en relâchant la structure

Le dôme de la cathédrale londonienne de St. Paul est complètement innovant en architecture. Christopher Wrene a conçu trois coupoles en partant de la forme de la caténaire. L'étude de cette façon était un mathématicien de pointe. À la fin du XXe siècle. Ed. © Jan Skwara/350RF

Il est vrai que la géométrie des bâtiments n'est pas le seul facteur à considérer. Ces géométries sont des structures physiques. Le stade des Jeux olympiques de 2008, le stade national de Pékin, en est un exemple représentatif. Il est appelé nid. Le pseudonyme est approprié car il s'agit d'un nid fabriqué par un oiseau: la structure est formée par un grand groupe de bretelles, apparemment chaotique, mais avec une mathématique très complexe dans sa conception. Dans sa construction, les bretelles ont été installées un par un, puis rejointes pour créer une structure unique. Pendant le processus de construction, de nombreux supports ont été utilisés pour maintenir les bretelles où cela était nécessaire. Et quand tous étaient unis, les supports ont été retirés. Très lentement, mais dans tout le stade à la fois. En définitive, la structure stable du bâtiment devait être «libérée» et maintenue debout par elle-même, avec une géométrie concrète et précise. Ce fut un moment spécial. Les constructeurs ont supporté la respiration et ont frappé le bouton enlevant les supports.

Que peut-il arriver ? Chute du bâtiment au sol ? L'ingénieur Rogelio Diez pense que non. Diez est inclus dans le projet du Musée Guggenheim Bilbao depuis 1992. Quand ils ont construit le bâtiment, il travaillait dans l'entreprise IDON, qui adaptait le concept qu'il venait du bureau de l'architecte Frank Gehry à la réalité de Bilbao pour pouvoir construire le musée. C'est pourquoi Diez a vu de très près la construction du musée. "[Dans des bâtiments singuliers] quels sont les risques? Je ne sais pas... mais il peut y avoir une erreur, par exemple, dans la taille d'une pièce".Mais aujourd'hui tout est très bien calculé. "Vous savez la force qui va supporter chaque élément lors du retrait de l'échafaudage. Et vous savez que ces éléments seront faciles à conserver. Les logiciels qui simulent la réalité sont aujourd'hui très précis ; ils ont une précision millimétrique ».

Le stade de Pékin n'est pas tombé. N'étant pas des matériaux totalement rigides, toute la structure présentait un point de flexibilité. En conséquence, lors du retrait des appuis, le stade devait prendre la forme finale. Il devait s'installer et il l'a fait. Les experts disposaient de nombreux capteurs pour mesurer cette fixation et relaxation. Dans certains endroits, il y avait une distance d'environ 20 centimètres de la position de l'échafaudage à la position finale. Comme calculé.

La maquette a été élaborée par Gaudí pour concevoir l'église de la colonie Güell. Il a suspendu à l'envers et a testé pendant dix ans les caténaires pour compléter sa structure. Ed. Canaan/CC_BY-SA

Cette libération du bâtiment se produit, dans une plus ou moins grande mesure, avec de nombreux bâtiments modernes. Avec des structures similaires au Musée Guggenheim Bilbao, il y a aussi une raison supplémentaire pour avoir un moment de nervosité: les éléments du bâtiment ne sont pas autonomes individuellement. « La structure n'est pas stable tant qu'elle n'est pas achevée », dit Diez. "C'était un casse-tête. Vous savez qu'un volume est stable parce qu'il a une certaine géométrie et la topologie est fermée. Mais la moitié d'un élément, par exemple, n'est pas stable. Par conséquent, ils ne sont pas stables jusqu'à ce que tous les éléments sont montés ensemble."

La star de Bilbao

Le Musée Guggenheim Bilbao est réalisé en trois couches. Il présente d'abord une structure primaire avec les éléments de base du bâtiment. La deuxième couche est une structure plus légère en aluminium qui lui donnerait la forme conçue par Gehry. Et le troisième est la surface extérieure, c'est-à-dire la couche de tôles de titane qui lui donnent une forme extérieure; en réalité il s'agit de plaques galvanisées, matériau imperméable et sur du titane. Grâce à cette structure stratigraphique, le bâtiment a une forme fantastique.

Image d'un étoile de la Sainte Famille de l'intérieur. Dans ce type de structures, Gaudí utilisait des paraboles, des hyperboloïdes et de nombreuses autres formes géométriques pour construire des formes spectaculaires. Ed. © Constantin Yolshin/350RF

"Au Musée Guggenheim l'extérieur sont les surfaces de Bezier", explique le mathématicien Raúl Ibáñez. "Les surfaces Bézier sont utiles car elles créent une forme stable à partir de points déterminés par l'architecte". À l'origine, les courbes et les surfaces de Bezier ont été utilisées dans l'industrie automobile. Un ingénieur de la société Renault, le Français Pierre Bezier, a utilisé la conception de ses voitures. Mathématiquement, ils sont peu complexes et sont de bonnes ressources pour créer des formes stables et aérodynamiques. « Mathématiquement, c'est la généralisation du paraboloid hyperbolique et hyperboloïde », affirme Ibáñez. Les courbes et surfaces de Bezier sont venues du secteur automobile aux programmes de conception graphique. Ils étaient utilisés dans les programmes CAO, puis ont réussi dans les ressources de traitement graphique. Photoshop est un bon exemple dans le domaine du traitement d'image, mais ce n'est pas le seul. Et c'est que Bezier est devenu une invention standard.

Les courbes Bezier sont également utilisées quotidiennement en ingénierie et en architecture. Le concepteur ne doit pas créer toutes les formes avec une grande précision. À partir d'une maquette de base, le logiciel calcule ces formes. Ainsi naît le Musée Guggenheim Bilbao avec le programme CATIA. En fait, c'était un logiciel développé pour l'industrie aéronautique.

« Frank Gehry, quand il a une idée, travaille cette idée sur des maquettes », affirme l'ingénieur Rogelio Diez. Il réalise une maquette de tout le bâtiment et des maquettes de différents volumes. C'est essentiellement du papier et du carton. Ce sont des modèles souples. Il ne taille rien. Et quand les maquettes sont terminées, il les numérise à travers un crayon optique : en marquant les points du volume de la maquette dans l'espace, il introduit ces données à l'ordinateur. Et les surfaces sont calculées par l'ordinateur lui-même. À cette époque, je ne connaissais que la numérisation d'un plan. J'ai commencé à voir Gehry faire la même chose en trois dimensions ».

Le stade national de Beijing, alias Il y avait, une structure apparemment chaotique, mais en pratique un exemple clair de mathématiques de stabilité. Ed. Peter23/CC_BY

Le résultat est une maquette virtuelle avec la partie géométrique réalisée. Mais le travail de l'ordinateur n'a fait que commencer. Simulation physique du modèle en trois dimensions. Pour cela on accède à un autre programme et on calcule la force et la tension que supporte chaque élément.

« La force principale à prendre en compte est la force de gravité », explique Diez. "Le vent doit aussi être pris en compte, il ne faut pas l'écarter complètement, mais la force principale est la gravité. Tous les efforts de gravité seront dirigés vers la fondation à travers les composants de la structure du bâtiment. Par conséquent, en entrant les données des composants sur l'ordinateur et la distribution de toutes les charges, l'ordinateur vous indiquera où ajouter une colonne. Parfois ce n'est pas faisable et alors l'instinct et l'esprit sont fondamentaux. Il change et revient à l'ordinateur". Et ce processus est généré avec des répétitions suffisantes. Le Musée Guggenheim Bilbao est ainsi né dans l'ordinateur. "Certaines caractéristiques de la conception de Gehry ne pouvaient pas être faites et il a fallu ajouter d'autres éléments. La plus grande galerie, par exemple, a des arcs supplémentaires couverts de plâtre."

Le fantasme tombe aussi

La conception du bâtiment du Musée Guggenheim Bilbao ne repose pas sur une seule forme mathématique. C'est une combinaison complexe et stable par l'intégration de toutes les parties. Si pris séparément, ils ne seraient pas debout. Ed. © Guggenheim Bilbao

Les bâtiments sont construits avec un grand travail de géométrie. Et ainsi, par exemple, on obtient des bâtiments qui semblent tomber mais qui ne tombent pas. Cependant, un dernier facteur doit être pris en compte. Dix est clair: "Je pense que toutes les choses ont une date d'expiration. Les bâtiments ne sont pas pour toujours. Ne demandez pas s'ils dureront cent ou deux cents ans, cela ne peut pas être connu". Les matériaux de construction ont beaucoup à voir. "On sait qu'une structure en bois dure environ 300 ans. Nous savons que les structures en béton durent plus de cent ans, mais il n'y a pas encore de bâtiments en béton armé construits il y a 300 ans. Sa durée est inconnue. La structure du Musée Guggenheim Bilbao est en béton armé et en métal. Il semble que cela durera longtemps sans tomber au sol, mais nous ne savons pas". C'est pourquoi un audit est effectué au Musée Guggenheim Bilbao. La topographie donne des millimètres de précision à ceux du groupe Diez pour savoir combien le bâtiment se déplace. "Tous les bâtiments sont en mouvement continu".

En vue arrière de l'histoire, il ya des bâtiments fantastiques qui sont tombés et ne sont pas tombés. Ils ont tous appris des architectes et des ingénieurs. En plus d'offrir un thème d'étude sur la durée des bâtiments, ils ouvrent une nouvelle porte pour analyser la construction de bâtiments fantastiques avec une technologie d'antan limitée. L'architecture européenne d'il y a huit siècles, par exemple, est exemplaire. Dans le nord de la France, des cathédrales fantastiques ont été inventées. Surprenez comment ils l'ont fait.

Ampoules savonneuses en design

Le symbole des Jeux olympiques de Munich de 1972 fut le stade. La couverture a la forme de tissu, c'est comme si le stade et ses environs étaient couverts par des toiles géantes. Pour la réalisation de cette structure, l'architecte Frei Otto a utilisé des ampoules savonneuses, car la combinaison des ampoules génère des surfaces minimes et son aspect est très stable. Ce sont des surfaces de surface minimum et des géométries avec une tension superficielle minimale dans le cas du savon.

Le stade olympique de Munich a été conçu par l'architecte Frei Otto. Pour cela, il plongeait les bâtons et les lacets dans une baignoire remplie d'ampoules savonneuses et définissait la structure à partir des ampoules qui les collaient. Ed. Arad Mojtahedi/Domaine public

Une seule ampoule de savon est une sphère. "Mais la sphère n'est pas une géométrie stable", affirme le mathématicien de l'UPV Raúl Ibáñez. "Il ne s'agit pas d'une surface minimale, mais d'un point critique, donc il présente des problèmes de stabilité très élevés". Pratiquement tout changement produit dans une sphère altère sensiblement sa stabilité. Il se casse et tombe. Au contraire, la combinaison d'ampoules et d'ampoules associées à différentes structures fournissent des surfaces minimes.

C'est ce que fit Frei Otto pour concevoir le stade de Munich. Ibáñez dit que c'est un exemple typique: Otto étudiait et construisait la structure en créant une structure avec des bâtons et des lacets et en la plongeant dans une baignoire remplie d'ampoules de savon. Puis il le sortait et l'analysait".