Mathématiques dans le monde financier

2000/08/01 Duoandikoetxea Zuazo, Javier - EHUko matematika irakaslea Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Demande de prêt

Nous devons acheter la maison. Cela coûte beaucoup et l'argent que nous avons ne suffit pas. D'où puisons-nous ce qui nous manque ? Le prêteur a été inventé depuis longtemps. Actuellement, les banques sont les principales responsables de cette obligation.

Nous sommes allés à la banque et avons demandé les douze millions dont nous avons besoin. En marge des garanties, etc. (pas par manque d'importance, mais parce qu'ils n'ont rien à voir avec les calculs), nous devons définir d'autres choses: combien de temps nous rembourserons l'argent et quel est le taux d'intérêt? Une fois connus, le montant que nous allons payer mensuellement à la banque est déterminé. Il faut des mathématiques, mais il n'est pas difficile de faire le compte: combien d'argent seraient si dans les douze millions de quinze ans d'aujourd'hui ils augmenteraient de 0,50% dans le mois ? Pour les M pesetas que nous payons mensuellement, il faut faire un calcul similaire, en tenant compte des mois qui résident à chaque paiement pour atteindre les quinze ans. Pour être égaux, nous obtenons une valeur pour M. Payer autant de pesetas par mois et prêt. Ces calculs et formules sont enseignés à l'école. La vérité est que même si la justification de la formule est un peu plus difficile à compter que l'argent, on ne peut pas dire qu'il faut utiliser les mathématiques à un niveau élevé. Les formules sont très connues et sont entre les mains de tout le monde.

Connaissant le fonctionnement de base de l'argumentation, il est également facile d'évaluer d'autres possibilités offertes par la banque: si après trois ans nous décidons de payer un million de pesetas sur un paiement pour alléger notre dette avec la banque, combien faut-il baisser la taxe mensuelle? Ou jusqu'à quand devons-nous continuer à payer si nous voulons profiter de la possibilité de raccourcir le délai de remboursement? Comment modifier le quota mensuel si le taux d'intérêt est variable et procède à sa révision après un an?

Les mathématiques du monde des prêts est simple. En plus de cela, il est vieux et même si le temps passe, les formules peuvent être appliquées sans changement et avec des calculs "petits". La remise des dettes est plus difficile que de faire ces comptes mathématiques...

Nouveaux produits

Le 10 novembre, nous devons effectuer un paiement de 5 millions pour réaliser une entreprise. Pour ce faire, nous utiliserons l'argent que nous incluons dans les actions de K. En voyant la cotation actuelle des actions en bourse, si nous venons autant d'actions que nécessaire et achetons des lettres d'intérêt fixe avec l'argent obtenu, nous sommes sûrs que le 10 novembre nous serons en mesure de réaliser un paiement de cinq millions.

Cependant, compte tenu de l'évolution actionnariale de K, nous aimerions ne pas vendre maintenant. La deuxième option est étudiée, la vente le 10 novembre. Si le prix des actions augmentait par rapport aux lettres d'intérêt fixe, pour obtenir les cinq millions nous devrions vendre moins qu'aujourd'hui et nous gagnerions, mais le prix peut également baisser et puis... Cette deuxième option risque et personne ne nous dira maintenant ce qui arrivera aux actions dans quelques mois.

Et si quelqu'un nous achète les actions au moins le 10 novembre au prix fixé aujourd'hui ? C'est-à-dire que nous voulons acheter une opportunité : le 10 novembre nous voulons trouver quelqu'un prêt à payer le P peseta pour chaque action de K, au moins jusqu'à un certain nombre d'actions, indépendamment du prix qu'ils ont en bourse ce jour-là. Ensuite, le jour venu, nous ferons ce qui nous convient le mieux, en vendant sur le marché ou en allant vendre à qui nous a signé l'occasion. Cette troisième option a les avantages de la seconde, mais sans risque. Est-il possible de l'obtenir ?

Dans cet exemple, contrairement à la demande de prêt, nous n'avons pas besoin d'argent maintenant, mais depuis le jour où nous allons devoir utiliser l'argent est loin, nous aimerions concevoir une stratégie appropriée pour ne pas perdre les avantages que le marché peut offrir, en gardant la garantie que nous avons maintenant pour faire face au paiement.

Même si cela semble surprenant, il y a des produits financiers comme celui-ci et de plus en plus. Ces stocks optiques, cités récemment dans les médias, ne sont que le droit d'acquérir des actions à un prix préfixé à des dates déterminées. Ils sont appelés options européennes lorsque vous devez décider si elle doit être effectuée ou non le jour mentionné ci-dessus et si il est possible pour les Américains de se tenir à tout moment jusqu'au dernier jour.

Le rôle des mathématiques

Mettons-nous maintenant de l'autre côté, à côté du vendeur de produits. Si le client nous fait une proposition comme ci-dessus, nous prenons le risque qu'il perd. En retour, nous vous demanderons de payer la prime comme le demandent les assureurs. Combien faut-il encaisser? La question est de mesurer, d'évaluer et de mettre des prix. En outre, le prix doit être accepté par les deux parties.

Ici apparaît mathématiques. Comme dans d'autres sciences, il est nécessaire d'élaborer un modèle mathématique. Déterminer quelles sont les variables significatives, établir des relations entre elles et écrire une équation ; le chemin de la modélisation est le suivant.

Cependant, le modèle élaboré ne sert pas à prédire la réalité. En physique, par exemple, en connaissant les équations de la description du mouvement et les données d'aujourd'hui, nous pouvons savoir où sera la Lune dans huit mois et quel sera le parcours de la fusée que nous émettons de la Terre, et si nous faisons bien les calculs, nous pouvons faire que la fusée se trouve sur la Lune le jour prévu (tant que possible surmonter les barrières techniques).

En économie, les mathématiques ne le font pas. Il est donc clair qu'il n'y a pas de modèle de prévision de l'évolution boursière dans huit mois. Il n'est pas possible de déterminer l'attitude des investisseurs. Avez-vous déjà imaginé à la télévision ce qui se passerait s'ils faisaient le pronostic "scientifique" de la Bourse comme ils nous annoncent le temps? Les équations mathématiques annonceraient la baisse de certaines actions pour demain, les investisseurs les vendre à la rampe et convertiraient ce qui devait être une petite baisse en une énorme quantité, niant ce qui a été dit par les équations.

Dans les produits financiers, le rôle des mathématiques n'est pas de prédire, mais de valoriser. Prendre en compte toutes les options (dans les limites que vous pouvez avoir dire "toutes"), mettre en valeur la probabilité de chacune d'elles, décider les valeurs des paramètres et enfin extraire un numéro du modèle nécessaire que nous devons demander au client. Quand l'acheteur ne saisit pas l'occasion, la prime est gagnée, mais sinon, nous devons couvrir la différence entre le marché et le prix préétabli. Pour ne pas aller au désastre, il est indispensable de savoir bien évaluer.

Historique d'évaluation

XVIII. À la fin du XXe siècle Daniel Bernoulli a écrit un article sur la mesure du risque, en utilisant le concept de variance utilisée dans la statistique. En 1900, le Français Louis Bachelier a présenté à Paris sa thèse de doctorat intitulée Thžorie de la SpŽinfection. Il a dirigé le prestigieux Henri Poincarn. Apparemment, le sujet n'était pas agréable à Poincarés et pendant de nombreuses années l'œuvre de Bachelier est devenu inconnue. Il a proposé un mouvement brownien pour l'évolution des prix des actifs, concept qui émerge en biologie dans la thèse de Bachelier avant son utilisation en physique et en mathématiques par Einstein.

Les livres publiés en 1947 et 1948 par le prestigieux économiste Paul Samuelson sont devenus un pilier de base pour l'économie. De l'avis de Samuelson, sans perdre de temps dans les mots et les exercices mentaux, les économistes devaient chercher la lumière sur le chemin des mathématiques, non pas parce que les mathématiques donneraient la solution à tous les problèmes, mais parce qu'il était la base pour comprendre la situation. Dans les années 60, il a introduit un changement dans le modèle de Bachelier, faisant que le mouvement brownien ne se réfère pas aux avantages des actifs mais aux prix. Samuelson a reçu le prix Nobel en 1970; le professeur Lindbeck a commencé sa présentation comme suit: "L'une des principales caractéristiques de l'évolution économique des dernières décennies est le degré croissant de formalisation des techniques analytiques, souvent avec des méthodes mathématiques".

Des années plus tard, un profond changement s'est produit, la formule de Black-Scholes, si célèbre pour les économistes. Le premier marché des dérivés financiers de Chicago a commencé en 1973 (les produits cités sont appelés dérivés en fonction de l'évolution des autres). L'application de cette formule et d'autres ressources offertes par l'économie mathématique sur le marché ne tarda pas à entrer en vigueur, ce qui a supposé ces dernières années une croissance spectaculaire du marché des dérivés. Ils sont nés en Espagne en 1990: A Barcelone à revenu fixe et à Madrid à revenu variable, parce que ces dérivés sont également vendus et achetés sur le marché, il suffit de regarder dans les pages économiques des magazines de vérification.

Trois économistes sont liés à la nouvelle formulation: Fischer Black et Robert Merton des États-Unis et Myron Scholes du Canada. Les deux derniers ont reçu le prix Nobel en 1997, sauf si le Black est mort deux ans plus tôt. Robert Merton a acquis une solide formation mathématique et est entré à l'Institut de technologie de Californie en 1966 avec l'intention de doctorat en mathématiques appliquées, mais un an plus tard, il a décidé de passer à l'économie, il a été accepté au MIT et, encore très jeune, il est devenu collaborateur de Samuelson. Là, il a rencontré Black et Scholes. Black a commencé en physique, a obtenu son doctorat en mathématiques appliquées et a terminé en économie. La trajectoire académique de Scholes a été plus proche de l'économie, mais quand il a commencé à réaliser la thèse, il a dû travailler aussi en informatique à l'Université de Chicago.

Les trois ont travaillé sur le problème de mettre des prix sur les produits dérivés. En utilisant des idées de base, ils ont pu écrire une équation des dérivées partielles, résoudre l'équation et extraire la formule de Black-Scholes. L'article intitulé "The pricing of options and corporate liabilities" (1973) est l'un des plus cités dans la littérature scientifique. Merton a conçu une nouvelle voie pour sortir la formule dans un travail écrit la même année et rationaliser certaines hypothèses. Il était très important d'essayer d'introduire quelques idées dans la formulation, car ils permettent d'obtenir des probabilités objectives au lieu des données douteuses de l'avenir, qui bien qu'elles ne soient pas réelles, le résultat final est le même. Il a également été décisif de reconnaître que le marché tend à l'équilibre et exclut par lui-même une situation connue comme arbitrage (obtention de revenus).