Tolesturen matematika eta artea

Irudimena, ezagutza matematikoa eta eskarmentua. Hiru dohain horiek behar dira papiroflexia bidez irudiak diseinatzeko, Jose Ignacio Royo Prieto EHUko Matematika Aplikatua saileko matematikariaren arabera. Hortik aurrera, "edozein irudiren oinarria lor daiteke paper-zati batekin; Robert Lang fisikari eta papiroflexian adituak frogatu zuen hori. Irudia egiteko erabiliko den paper-zatian irudiaren zatiak behar bezala banatzea da gakoa", dio.

Japonian du jatorria papiroflexiak, edo, hitz japoniarra erabilita, origami ak; VI. mendekoak dira lehenengo erreferentziak. Japonieraz, bi karakterez idazten da hitza: batek eskua adierazten du ( ori ), eta, besteak, tolestu ( kami ). "Europako papera tolesteko tradizioa japoniarrarekiko independentea da, eta litekeena da oturuntzetako ahozapien tolestura apaingarriak izatea abiapuntua. Badaude ohitura horri erreferentzia egiten dioten dokumentuak, XVI. mendekoak", azaltzen du Royok Matemáticas y Papiroflexia: una relación bidireccional artikuluan.

Jose Ignacio Royo Prieto. EHUko Matematika Aplikatua saileko ikertzailea eta papiroflexian zaletua. Arg. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

Tradiziozko papiroflexia horren motorra intuizioa izan zen, XX. mendearen erdialderaino, gutxi gorabehera: probatuz eta akatsetatik ikasiz sortzen ziren diseinuak, baita aurrez egindako diseinuak eraldatuz ere. Eraldatzeko modu bat izan daiteke, adibidez, "txertaketak egitea --zehaztu Royok, eta hegazti baten burua eta hegoak azaltzen dituen irudi bat erabili du hori azaltzeko--: egindako irudia destolesten badugu, paper-zati hori moztu dezakegu, kontuan hartuta non gelditu den irudiaren osagai bakoitza, eta horiek errespetatuz, alegia, atal bakoitzari dagokion paper-zatia osorik utziz. Bada, banatutako zatiak paper-pusketa handiago batean itsatsiz, papera soberan izango dugu irudiari beste atal batzuk gehitzeko, hankak, kasu. Jatorrizko pausoei jarraituz, berriz lortuko genuke hasierako irudia, eta, soberan dagoen zatiarekin hankak egiteko modua bilatu beharko genuke".

Era horretan egindako irudietan, tolestaileak ausaz edo intuizioz egiten ditu tolesturak, eskuartean duen paper-zatiak animalia edo objektu ezagun baten itxura hartzen duen arte. Orduan, bere eskarmentuak lagunduta, azken ukituak ematen dizkio, eta, ondoren, egindako tolestura-segida gogoratu besterik ez du egin behar, sortutako irudiaren jarraibide-zerrenda egiteko. "Gaur egun ere erabiltzen da papera tolesteko modu hori, baina muga handiak ditu, zalantzarik gabe", adierazi du Royok.

Asmoa gehitzearen iraultza

Azkeneko hamarkadetan, diseinuak egiteko beste modu bat sortu da; asmo edo intentzio bati jarraituz sortzen dituzte diseinuak. "Bestearekin alderatuta, desberdintasun handiena da tolesten hasi baino lehen, tolestaileak planifikatu egiten duela zer egitura eta banaketa izango dituen ereduak. Eta matematikaz baliatzen da horretarako", dio Royok. Banaketa planifikatu horri esker, "tradiziozkoak baino askoz konplexutasun- eta zehaztasun-maila handiagoko irudiak egiten dituzte", gaineratu du Royok: era guztietako ugaztunak, beren adar, belarri, buztan eta guzti; hanka, hego eta antena guztiak dituzten intsektuak... "benetako sormen-iraultza gertatu da papiroflexian azkeneko hiru hamarkadetan", nabarmendu du.

Benetako animalia edo objektuak imitatzen dituzten irudiak eraikitzen dituen papiroflexia figuratiboaz gainera beste era bateko papiroflexia ere badago: papiroflexia modularra. Oinarrizko pieza-multzo bat sortzean datza papiroflexia modularra, eta haiek elkarren artean lotzea, inolako kolarik erabili gabe, bukaeran irudi bat lortzeko (ia beti geometrikoa). "Horretarako, poltsikoak eta hegalak izan behar dituzte oinarrizko piezek, batzuk besteen barruan sartu ahal izateko", argitu du Royok.

Arg. Jorge Jaramillo/CC-BY

Hainbat dira papiroflexia modernoan erreferente bihurtu diren adituak. Denen gainetik, ordea, Akira Yoshizawa japoniarra nabarmentzen du Royok. Hura da, bere ustez papiroflexia modernoaren aita. Hain zuzen, Yoshizawak proposatu zuen, lehenengoz, nola eman ereduak tolesteko jarraibideak, eta horretarako erabili beharreko sinbologia. "Zalantzarik gabe, papiroflexiari egindako ekarpen handiena da papera asmatu zenetik, horri esker nazioartean zabaldu ahal izan baitira edonork egindako diseinuak", baieztatu du Royok.

Papiroflexian zaletua denez gero, Royok berak zenbait diseinu asmatu ditu, bai figuratiboak, bai modularrak: "Bakoitzak bere berezitasunak ditu, eta, hortaz, jarraibide desberdinen bidez diseinatzen dira". Adibide bana jarrita azaldu ditu oinarrizko gakoak.

Papiroflexia modularrean, angeluak aztergai

FITaren bost tetraedroak dodekaedro batean bizi direla ikus daiteke irudian. Konposizioko erpinek bosnaka kointziditzen dute plano berean. Bada, bost horiek elkartuz, pentagono bat lortuko genuke, eta bosteko talde guztiek batera dodekaedro bat deskribatzen dute. Arg. Jose Ignacio Royo

Papiroflexia modularrean, "nire obra garrantzitsuenetako bat da FIT akronimoaz ezagutzen den konposizioa (Five Intersecting Tetrahedra, edo bost tetraedro gurutzatu)", dio. Zehazki, konposizio horren bertsio solidoa. Izan ere, hainbat itxuratako irudi geometrikoak egin daitezke: solidoak, hau da, pieza solido bat zizelkatuz lortuko litzatekeena; poliedroaren ertzak bakarrik dituztenak, eta, hortaz, aurpegiak hutsik dituztenak; izartuak, aurpegi lauak izan ordez erliebedunak dituzten irudiak, eta abar.

Irudiaren izenak adierazten duen bezala, elkar gurutzatzen duten bost tetraedrok osatzen dute irudia. Hori argiago ikusteko, bost koloretako piezak, edo moduluak, eraiki zituen Royok. Horietako hogei modulu elkartuz sortzen da FITa. Hortaz, "lehenengo lana sortu nahi nituen moduluen angeluak aztertzea izan zen, eta, ondoren, papera tolestuz horiek nola lortu asmatzea".

Moduluak diseinatzea izan zen erronka handiena. Modulu bakoitzak hiru triangeluz eratuta dago, eta, horiek konbinatzean, piramide-itxura hartzen du.

Diseinu figuratiboan, matematika eta eskarmentua eskutik

Irudi figuratiboen diseinuaren kasuan, paper-zati bakarrarekin egiten denez lan, garrantzitsuena da "papera ondo banatzea, gure irudiak izango dituen atal guztiak egin ahal izateko", dio Royok. Horretarako modu bat da lortu nahi den irudiaren eskema egitea. Demagun euli bat, hori diseinatu baitu Royok, besteak beste: "Lehenik, zuhaitz-itxurako eskema bat egin behar dugu, gure irudiak izango dituen atal guztiak izango dituena; atal bakoitza zuhaitz horren adar bat izango da. Adar bakoitzaren luzera ere behar bezala irudikatu beharko dugu, hankak burua baino luzeagoak izan daitezen, esate baterako. Pauso horretan, diseinatzaileak erabaki behar du zer mailaraino sinplifikatu nahi duen irudia objektu errealetik, edo, kontrakoa, zenbateraino hurbildu nahi duen errealitatera".

Behin zuhaitza izanda, banaketa hori paperera ekartzeko lana hasten da, lanik zailena, eta hor matematika oso lagungarria da. Eulia egiteko sei hanka, bi hego, abdomena eta burua irudikatzea erabaki badugu, hamar adarreko zuhaitza egin beharko dugu; hau da, hamar punta atera beharko ditugu gure paper-zatitik. Demagun paperaren izkinetako batekin egingo dugula horietako bat. Erditik tolestu beharko dugu izkina hori, eta berriro erditik, eta berriro, punta argal bat lortzeko. Izango duen luzera ere zehazten badugu, eta, ondoren, egindako tolestura guztiak desegiten baditugu, paper laukiaren ertz batean poligono bat markatuta dagoela ikusiko dugu. Punta gehiago argaldu nahi izan bagenu, berriro tolestuko genukeen, eta, destolestean lortuko genukeen poligonoa alde gehiago izango zituzkeen irudikatuta. Hori limitera eramanda, azkenean zirkulu baten laurdena izango genuke. "Bada, zirkulu horrek markatzen duen azalera erreserbatu egin beharko dugu, eta ezingo dugu erabili gelditzen zaizkigun atalak eratzeko", argitu du Royok.

Jose Ignacio Royok diseinatutako eulia: Arenojo cacsomanu. Arg. Jose Ignacio Royo

Laukiaren izkina batean ordez, alde baten erdian egiten baditugu tolesturak, zirkulu erdi bat agertuko zaigu, eta, paperaren barruan eginez gero, zirkulu osoa. Bada, horixe egin behar da, hain zuzen, paper-zatia zirkulutan banatu, eulia egiteko behar ditugun hamar zatiak lortzeko. "Papera banatzeko era optimoa da zirkuluak elkarrekiko tangenteak izatea, ukitzaileak", azaldu du Royok. Hala, lortzen dugu zirkuluak ez gainjartzea batzuk besteekin, eta, aldi berean, paperik ez gelditzea erabili gabe.

Banaketa egindakoan, irudiaren atal bakoitza tolesteko ordua da. "Matematikak dagoeneko garrantzia galtzen du urrats horretan, eta tolestailearen abilezia eta eskarmentua izango dira garrantzitsuenak, punta batzuk gehiago edo gutxiago argaltzeko, moldatzeko, detaileak egiteko, eta, azken batean, bukaerako irudia lortzeko", dio Royok.

Bere eskarmentuaz baliatu zen, hain zuzen, Royo, aipatutako eulia diseinatzeko. Aurrez, beste diseinatzaile batek egindako irudi baten banaketaz baliatu zen bere diseinua egiteko. Egin beharrekoen artean du deskribatutako prozesuari jarraituz egitea euliaren diseinua.

Edonola eginda ere, sortutako irudia desegingo bagenu, eta jatorrizko laukira itzuli, paperean gelditu diren markak, batzuek haranak eta besteek tontorrak eratzen dituztenak izango genituzke. "Horrek erakusten du, beste ezerk baino argiago, papiroflexiak atzean duen matematika. Izan ere, hizkuntza matematikoan marka-multzo horri grafo esaten zaio, erpinez edo nodoz (puntuz) eta ertzez eratuta baitago, eta horiek guztiak nolabait konbinatuta daudelako", azaldu du Royok.

Marka-mapa horrek izen berezia du papiroflexian, crease pattern . "Hori bakarrik izanda, hau da, jarraibiderik gabe, asmatu daiteke zer tolestura egin behar zaizkion paperari bukaerako irudira iristeko, baina papiroflexian eskarmentu dezente dutenek bakarrik egin dezakete --gaineratu du Royok--. Edozeinentzat ez da begi bistakoa zer pauso jarraitu behar diren horretara iristeko".

Egin zure ur-bonba

Jarraibide hauek paper-zati batean errepikatzen badituzu, ur-bonba bat lortuko duzu. Garai batean, puxikarik ezean, haurrek urarekin jolasteko egiten zituzten paperezko kuboak dira. Tradizio handiko irudi bat da, aspaldikoa. Esate baterako, John Webster-ek, 1614. urteko "Malfiko dukesa" antzezlanean aipatzen ditu "haurrek euliak harrapatzeko erabiltzen dituzten paperezko kaiolak", eta adituek uste dute ur-bonbei buruz ari dela.

Arg. Danel Solabarrieta/Elhuyar Zientzia

Irudi horren berezitasunetako bat da erabat simetrikoa dela, hau da, mugimenduak lau aldiz errepikatu behar direla bukaerako irudira iristeko. Eta, azkeneko pausoan, putz egin behar zaio sortutako egiturari, ur-bonba bat izateko hiru dimentsioko irudia behar baita.

Anima zaitez egitera, eta sortu zure ur-bonba, estekatutako PDFan aurkituko dituzuen jarraibideei eta marka-mapari segituta. Beste edozein paper-zati karratu hartuz ere egin dezakezu.

Diagramen jarraibideekin moldatzen ez bazara, bideo honetan ikus dezakezu nola egin.

Matematikaren oinarrizko kontzeptu batzuk ikusgai papera tolestuz

Papiroflexia matematikaren mundura modu atseginean hurbiltzeko modu bat dela uste du Jose Ignacio Royo Prieto EHUko Matematika Aplikatua saileko matematikariak. "Poliedro bat eskuetan hartzea bezalakorik ez dago haren simetriez jabetzeko, esate baterako. Eta, zer esanik ez, norberak egindako irudia bada", dio.

Arg. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

Papiroflexiaz irudiak egitera iritsi gabe, paper-zatiak tolesteak bakarrik ere aukera ematen du errazago ulertzeko geometriako oinarrizko kontzeptu batzuk. Adibidez, paper-zatiaren puntu bat beste baten gainera eraman eta papera tolesten dugunean, bi puntu horien arteko erdibitzailea egiten ari gara. Edo bi ertz bata bestearen gainean jarrita tolesten badugu papera, bi ertzok elkartzen dituen angelua erditik zatitzen ari gara, alegia, erdikaria markatzen. "Erregela eta konpasa erabilita ere egin daitezke horiek guztiak, baina papera tolestuz errazago egiten dira batzuk, eta hobeto ulertzen da zer egiten ari garen, emaitza begien aurrean baitugu", argitu du Royok.

Demagun paperezko triangelu bat dugula. Ondoren, triangelu horretatik abiatuta laukizuzen bat egin dezakegu, hiru erpinak triangeluaren oinean elkartuz, Bada, hori eginez, ikus dezakegu sortzen den laukizuzenaren azalera jatorrizko triangeluaren azaleraren erdia duela, triangelua egiteko erabilitako paperaren bi geruza elkartu direlako laukizuzenean. Gainera, laukizuzenaren oina eta altuera jatorrizko triangeluaren erdia dira, eta hortik ondoriozta daiteke triangelu baten azalera dela haren oinaren erdia bider altuera. Bide batez, gainera, mugimendu horretan ikus daiteke triangelu baten hiru angeluak batuta, elkartuta, angelu lau bat eratzen dela.