Matemàtica i Art del Plec

2014/07/01 Lakar Iraizoz, Oihane - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika
• Diseinua

Imaginació, coneixement matemàtic i experiència. Aquestes tres qualitats són necessàries per al disseny d'imatges per papiroflexia, segons José Ignacio Royo Prieto, matemàtic del departament de Matemàtica Aplicada de la UPV. A partir d'aquí, "es pot obtenir la base de qualsevol imatge amb un tros de paper, la qual cosa va demostrar el físic Robert Lang i l'expert en papiroflexia. La clau està en la correcta distribució de les parts de la imatge en la part de paper que s'utilitzarà per a la realització de la imatge", afegeix.

La papiroflexia té el seu origen al Japó o, utilitzant la paraula japonesa, l'origami; VI. les primeres referències són de segle. En japonès, la paraula s'escriu amb dos caràcters: un indica la mà ( ori ) i l'altre flexiona ( kami ). "La tradició europea de plegar paper és independent del japonès, i és possible que el punt de partida sigui el plegament decoratiu dels tovallons de banquets. Hi ha documents que fan referència a aquest costum, el XVI. subalterns", explica Royok Matemàtiques i Papiroflexia: una relació bidireccional en l'article.

José Ignacio Royo Prieto. Investigador del departament de Matemàtica Aplicada de la UPV i afeccionat a la papiroflexia. Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

El motor d'aquesta tradicional papiroflexia va ser la intuïció, el segle XX. Fins a mitjan segle XX aproximadament: els dissenys es creaven provant i aprenent dels errors, fins i tot modificant dissenys previs. Una forma de transformació pot ser, per exemple, "realitzar vacunacions --detallar Rogo i utilitzar una figura que mostra el cap i les ales d'un ocell-: si destolamos la imatge realitzada, podem tallar aquest tros de paper, tenint en compte on ha quedat cadascun dels components de la imatge, i respectar-los, és a dir, deixant tota la part de paper corresponent a cada secció. Doncs bé, pegant les parts separades en un tros de paper més gran, ens sobrarà el paper per a afegir altres parts a la imatge, com les potes. Seguint els passos originals, tornaríem a obtenir la imatge inicial i hauríem de buscar la manera de fer les cames amb la part sobrant".

En aquesta mena d'imatges, el doblador realitza plecs aleatòries o intuïtives, fins que el tros de paper que té entre mans adquireix la forma d'un animal o objecte conegut. Llavors, amb la seva experiència, li dóna els últims tocs i, a continuació, només ha de recordar la successió de plecs que ha realitzat per a elaborar una llista d'instruccions de la imatge creada. "Aquesta manera de doblegar el paper es continua utilitzant en l'actualitat, però sens dubte té grans limitacions", ha assenyalat Rovo.

La revolució de l'augment de la intenció

En les últimes dècades s'ha creat una nova manera de fer els dissenys, que són creats amb una intenció o intenció. "La major diferència respecte a l'altre és que abans de començar a doblegar, el plegador planifica l'estructura i distribució del model. I per a això utilitza les matemàtiques", afirma Royo. Gràcies a aquesta distribució planificada, "fan figures amb una complexitat i precisió molt major que les tradicionals", ha afegit Royo: tot tipus de mamífers, amb les seves branques, orelles, cua, insectes amb totes les potes, ales i antenes... "s'ha produït una veritable revolució creativa en la papiroflexia en les últimes tres dècades", ha destacat.

A més de la papiroflexia figurativa que construeix imatges que imiten animals o objectes reals, existeix un altre tipus de papiroflexia: la papiroflexia modular. La papiroflexia modular consisteix en la creació d'un conjunt de peces bàsiques que s'uneixen entre si, sense utilitzar cap mena de cua, per a obtenir una imatge final (gairebé sempre geomètrica). "Per a això, les peces bàsiques han de tenir butxaques i aletes per a poder ficar-se les unes dins de les altres", explica Royo.

Ed. Jorge Jaramillo/CC-BY

Són diversos els experts que s'han convertit en referents de la papiroflexia moderna. Per sobre de tots, destaca el japonès Akira Yoshizawa. Ell creu que és el pare de la papiroflexia moderna. De fet, Yoshizawa va proposar, per primera vegada, com donar pautes per a flexionar els models i la simbologia a utilitzar per a això. "Sens dubte, la major contribució a la papiroflexia és des que es va inventar el paper, la qual cosa ha permès la internacionalització dels dissenys realitzats per tots", ha afirmat Rovo.

Com a afeccionat a la papiroflexia, el mateix Royo ha inventat diversos dissenys, tant figuratius com modulars: "Cadascun té les seves particularitats i, per tant, es dissenyen seguint pautes diferents". Exposa les claus bàsiques amb un exemple.

Anàlisi d'angles en papiroflexia modular

En la imatge es pot veure que els cinc tetraedres del FIT viuen en un dodecaedre. Els vèrtexs de la composició coincidents en cinc o cinc en el mateix pla. Amb la unió d'aquests cinc, obtindríem un pentàgon i tots els grups de cinc descriuen un dodecaedre conjunt. Ed. José Ignacio Royo

En papiroflexia modular, "una de les meves obres més importants és la composició coneguda amb l'acrònim FIT (Five Intersecting Tetrahedra, o cinc tetraedres creuats)", afirma. En concret, la seva versió sòlida. De fet, es poden construir figures geomètriques de formes molt diverses: sòlides, és a dir, que s'obtindria mitjançant la talla d'una peça sòlida, amb només les vores del poliedre i, per tant, amb cares buides, estavellades, figures amb relleus en lloc de rostres plans, etc.

Com indica el nom de la imatge, la imatge està formada per cinc tetraedres que s'entrecreuen. Per a veure-ho més clar, Royo va construir peces de cinc colors o mòduls. La FIT neix de la unió de vint mòduls. Per tant, "el primer treball va consistir a analitzar els angles dels mòduls que volia crear i, posteriorment, a pensar com aconseguir-los mitjançant la flexió de paper".

El major repte va ser dissenyar els mòduls. Cada mòdul està format per tres triangles que es combinen en forma piramidal.

Disseny figuratiu, matemàtica i experiència de la mà

En el cas del disseny d'imatges figuratives, atès que es treballa amb un únic tros de paper, el més important és "distribuir bé el paper per a poder realitzar tots els apartats que contindrà la nostra imatge", afirma Royo. Una manera de fer-ho és fer un esquema de la imatge que es vol aconseguir. Imaginem una mosca que Rosego ha dissenyat, entre altres coses: "El primer que hem de fer és fer un esquema en forma d'arbre amb tots els apartats que tindrà la nostra imatge, cadascun d'ells serà una branca d'aquest arbre. La longitud de cada branca també haurà de representar-se adequadament perquè les cames siguin més llargues que el cap, per exemple. En aquest pas, el dissenyador ha de decidir fins a quin punt vol simplificar la imatge des de l'objecte real o, el contrari, fins a quin punt vol acostar-se a la realitat".

Una vegada que és un arbre, comença el treball de portar aquesta divisió al paper, el treball més difícil, i aquí les matemàtiques són de gran ajuda. Si hem decidit imaginar sis potes, dues ales, l'abdomen i el cap per a fer la mosca, haurem de fer un arbre de deu branques, és a dir, traurem deu puntes de la nostra fracció de paper. Suposem que farem una d'elles amb una de les cantonades del paper. Haurem de doblegar pel centre aquesta cantonada i de nou pel centre per a aconseguir una punta prima. Si especifiquem també la longitud que tindrà, i després desfem tots els plecs realitzats, veurem que un polígon està marcat en una vora del paper quadrat. Si volguéssim aprimar més la punta, ho tornaríem a doblegar, i al destolear obtindríem un polígon amb més costats. Portant això al límit, al final tindríem la quarta part d'un cercle. "Perquè hem de reservar la superfície que marca aquest cercle i no podem utilitzar-la per a formar els apartats que ens queden", ha aclarit Rovo.

Mosca dissenyada per José Ignacio Royo: Arenojo cacsomanu. Ed. José Ignacio Royo

En lloc d'en una cantonada del quadre, si fem els plecs en el centre d'un costat, apareixerà mig cercle i si ho fem dins del paper, tot el cercle. Això és precisament el que cal fer és dividir el paper en cercles per a aconseguir els deu trossos que necessitem per a fer la mosca. "La distribució òptima de paper és que els cercles siguin tangents entre si, tangents", explica Royo. D'aquesta forma aconseguim que els cercles no se superposin els uns amb els altres i que al mateix temps no quedin papers sense utilitzar.

Una vegada realitzada la distribució, és hora de doblegar cada part de la imatge. "Les matemàtiques ja perden importància en aquest pas i el més important seran l'habilitat i l'experiència del plegador per a aprimar més o menys unes puntes, modelar, fer detalls i, en definitiva, obtenir la imatge final", afirma Royo.

Royo va aprofitar la seva experiència per a dissenyar aquesta mosca. Prèviament es va valer de la distribució d'una imatge realitzada per un altre dissenyador per al seu disseny. Entre les tasques a realitzar s'inclou el disseny de la mosca seguint el procés descrit.

De totes maneres, si destruíssim la imatge creada i tornéssim al quadre original, les marques que han quedat en paper, unes serien les que formen les valls i unes altres les que formen els cims. "Això demostra, més que res, les matemàtiques que s'amaga darrere de la papiroflexia. I és que, en el llenguatge matemàtic, aquest conjunt de marques es diu graf, ja que està format per vèrtexs o nodes (punts) i cants, i tots ells estan d'alguna manera combinats", explica Royo.

Aquest mapa de marques té un nom especial en papiroflexia, creés pattern. "Només per això, és a dir, sense instruccions, es pot inventar quins plecs cal fer al paper per a arribar a la imatge final, però només el poden fer -ha afegit Royok- els qui tenen bastant experiència en papiroflexia. Per a qualsevol no és obvi quins passos cal seguir per a arribar".

Fes la teva bomba d'aigua

Si repeteixes aquestes instruccions en un tros de paper obtindràs una bomba d'aigua. Es tracta de galledes de paper que antigament feien els nens per a jugar amb l'aigua, mancant globus. És una imatge de gran tradició, antiga. Per exemple, John Webster, en l'obra "La duquessa de Malfí" de 1614, esmenta "les gàbies de paper que els nens utilitzen per a atrapar mosques", i els experts creuen que es tracta de bombes d'aigua.

Ed. Danel Solabarrieta/Elhuyar Zientzia

Una de les peculiaritats d'aquesta imatge és que és totalment simètrica, és a dir, que cal repetir els moviments quatre vegades per a arribar a la imatge final. I en l'últim pas cal bufar l'estructura creada, ja que per a tenir una bomba d'aigua es necessita una imatge tridimensional.

Anima't a fer-ho i crea la teva pròpia bomba d'aigua seguint les instruccions que trobareu en el PDF enllaçat i el mapa de marca. També pots fer-ho prenent qualsevol altre tros de paper quadrat.

Si no s'adapta a les instruccions dels diagrames, en aquest vídeo pots veure com fer-lo.

Alguns conceptes bàsics de les matemàtiques poden veure's doblegant el paper

José Ignacio Royo Prieto, matemàtic del departament de Matemàtica Aplicada de la UPV, creu que la papiroflexia és una manera d'acostar-se al món de les matemàtiques d'una manera amena. "No hi ha res com agafar un poliedre a les mans per a apreciar les seves simetries, per exemple. I, per descomptat, si és una imatge feta per un", diu.

Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

Sense arribar a realitzar imatges amb papiroflexia, el simple doblegat de trossos de paper permet comprendre més fàcilment alguns conceptes bàsics de geometria. Per exemple, quan portem un punt sobre un altre i dobleguem el paper, estem fent la mitjana entre tots dos punts. O si dobleguem el paper amb dues vores superposades, estem dividint l'angle que uneix tots dos costats per la meitat, és a dir, marcant la bisectriu. "Tots ells es poden fer amb la regla i el compàs, però amb el doblegat de paper es fan més fàcils, i s'entén millor el que s'està fent, perquè el resultat és evident", explica Royo.

Suposem que tenim un triangle de paper. A continuació, partint d'aquest triangle podem fer un rectangle, unint els tres vèrtexs al peu del triangle, i observant que la superfície del rectangle resultant és la meitat de la superfície del triangle original, ja que en el rectangle s'han ajuntat dues capes del paper utilitzat per a realitzar el triangle. A més, la planta i l'altura del rectangle són la meitat del triangle original, d'on es pot deduir que la superfície d'un triangle és la meitat del seu peu per la seva altura. Per cert, en aquest moviment es pot observar que la suma dels tres angles d'un triangle, units, forma un angle pla.