Matemática y Arte del Pliegue

2014/07/01 Lakar Iraizoz, Oihane - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

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Imaginación, conocimiento matemático y experiencia. Estas tres cualidades son necesarias para el diseño de imágenes por papiroflexia, según José Ignacio Royo Prieto, matemático del departamento de Matemática Aplicada de la UPV. A partir de ahí, "se puede obtener la base de cualquier imagen con un trozo de papel, lo que demostró el físico Robert Lang y el experto en papiroflexia. La clave está en la correcta distribución de las partes de la imagen en la parte de papel que se utilizará para la realización de la imagen", añade.

La papiroflexia tiene su origen en Japón o, utilizando la palabra japonesa, el origami; VI. las primeras referencias son de siglo. En japonés, la palabra se escribe con dos caracteres: uno indica la mano ( ori ) y el otro flexiona ( kami ). "La tradición europea de plegar papel es independiente del japonés, y es posible que el punto de partida sea el plegamiento decorativo de las servilletas de banquetes. Hay documentos que hacen referencia a esta costumbre, el XVI. subalternos", explica Royok Matemáticas y Papiroflexia: una relación bidireccional en el artículo.

José Ignacio Royo Prieto. Investigador del departamento de Matemática Aplicada de la UPV y aficionado a la papiroflexia. Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

El motor de esta tradicional papiroflexia fue la intuición, el siglo XX. Hasta mediados del siglo XX aproximadamente: los diseños se creaban probando y aprendiendo de los errores, incluso modificando diseños previos. Una forma de transformación puede ser, por ejemplo, "realizar vacunaciones --detallar Rogo y utilizar una figura que muestra la cabeza y las alas de un pájaro-: si destolamos la imagen realizada, podemos cortar ese trozo de papel, teniendo en cuenta dónde ha quedado cada uno de los componentes de la imagen, y respetarlos, es decir, dejando toda la parte de papel correspondiente a cada sección. Pues bien, pegando las partes separadas en un trozo de papel más grande, nos sobrará el papel para añadir otras partes a la imagen, como las patas. Siguiendo los pasos originales, volveríamos a obtener la imagen inicial y tendríamos que buscar la forma de hacer las piernas con la parte sobrante".

En este tipo de imágenes, el doblador realiza dobleces aleatorias o intuitivas, hasta que el trozo de papel que tiene entre manos adquiere la forma de un animal u objeto conocido. Entonces, con su experiencia, le da los últimos toques y, a continuación, sólo tiene que recordar la sucesión de pliegues que ha realizado para elaborar una lista de instrucciones de la imagen creada. "Esta forma de doblar el papel se sigue utilizando en la actualidad, pero sin duda tiene grandes limitaciones", ha señalado Rovo.

La revolución del aumento de la intención

En las últimas décadas se ha creado una nueva forma de hacer los diseños, que son creados con una intención o intención. "La mayor diferencia respecto al otro es que antes de empezar a doblar, el plegador planifica la estructura y distribución del modelo. Y para ello utiliza las matemáticas", afirma Royo. Gracias a esta distribución planificada, "hacen figuras con una complejidad y precisión mucho mayor que las tradicionales", ha añadido Royo: todo tipo de mamíferos, con sus ramas, orejas, cola, insectos con todas las patas, alas y antenas... "se ha producido una verdadera revolución creativa en la papiroflexia en las últimas tres décadas", ha destacado.

Además de la papiroflexia figurativa que construye imágenes que imitan animales u objetos reales, existe otro tipo de papiroflexia: la papiroflexia modular. La papiroflexia modular consiste en la creación de un conjunto de piezas básicas que se unen entre sí, sin utilizar ningún tipo de cola, para obtener una imagen final (casi siempre geométrica). "Para ello, las piezas básicas deben tener bolsillos y aletas para poder meterse unas dentro de otras", explica Royo.

Ed. Jorge Jaramillo/CC-BY

Son varios los expertos que se han convertido en referentes de la papiroflexia moderna. Por encima de todos, destaca el japonés Akira Yoshizawa. Él cree que es el padre de la papiroflexia moderna. De hecho, Yoshizawa propuso, por primera vez, cómo dar pautas para flexionar los modelos y la simbología a utilizar para ello. "Sin duda, la mayor contribución a la papiroflexia es desde que se inventó el papel, lo que ha permitido la internacionalización de los diseños realizados por todos", ha afirmado Rovo.

Como aficionado a la papiroflexia, el propio Royo ha inventado varios diseños, tanto figurativos como modulares: "Cada uno tiene sus particularidades y, por tanto, se diseñan siguiendo pautas diferentes". Expone las claves básicas con un ejemplo.

Análisis de ángulos en papiroflexia modular

En la imagen se puede ver que los cinco tetraedros del FIT viven en un dodecaedro. Los vértices de la composición coincidentes en cinco o cinco en el mismo plano. Con la unión de estos cinco, obtendríamos un pentágono y todos los grupos de cinco describen un dodecaedro conjunto. Ed. José Ignacio Royo

En papiroflexia modular, "una de mis obras más importantes es la composición conocida con el acrónimo FIT (Five Intersecting Tetrahedra, o cinco tetraedros cruzados)", afirma. En concreto, su versión sólida. De hecho, se pueden construir figuras geométricas de formas muy diversas: sólidas, es decir, que se obtendría mediante la talla de una pieza sólida, con sólo los bordes del poliedro y, por tanto, con caras vacías, estrelladas, figuras con relieves en lugar de rostros planos, etc.

Como indica el nombre de la imagen, la imagen está formada por cinco tetraedros que se entrecruzan. Para verlo más claro, Royo construyó piezas de cinco colores o módulos. La FIT nace de la unión de veinte módulos. Por lo tanto, "el primer trabajo consistió en analizar los ángulos de los módulos que quería crear y, posteriormente, en pensar cómo conseguirlos mediante la flexión de papel".

El mayor reto fue diseñar los módulos. Cada módulo está formado por tres triángulos que se combinan en forma piramidal.

Diseño figurativo, matemática y experiencia de la mano

En el caso del diseño de imágenes figurativas, dado que se trabaja con un único trozo de papel, lo más importante es "distribuir bien el papel para poder realizar todos los apartados que contendrá nuestra imagen", afirma Royo. Una forma de hacerlo es hacer un esquema de la imagen que se quiere conseguir. Imaginemos una mosca que Royo ha diseñado, entre otras cosas: "Lo primero que tenemos que hacer es hacer un esquema en forma de árbol con todos los apartados que va a tener nuestra imagen, cada uno de ellos será una rama de ese árbol. La longitud de cada rama también deberá representarse adecuadamente para que las piernas sean más largas que la cabeza, por ejemplo. En este paso, el diseñador debe decidir hasta qué punto quiere simplificar la imagen desde el objeto real o, lo contrario, hasta qué punto quiere acercarse a la realidad".

Una vez que es un árbol, empieza el trabajo de traer esa división al papel, el trabajo más difícil, y ahí las matemáticas son de gran ayuda. Si hemos decidido imaginar seis patas, dos alas, el abdomen y la cabeza para hacer la mosca, tendremos que hacer un árbol de diez ramas, es decir, sacaremos diez puntas de nuestra fracción de papel. Supongamos que vamos a hacer una de ellas con una de las esquinas del papel. Deberemos doblar por el centro esta esquina y de nuevo por el centro para conseguir una punta delgada. Si especificamos también la longitud que va a tener, y después deshacemos todos los pliegues realizados, veremos que un polígono está marcado en un borde del papel cuadrado. Si quisiéramos adelgazar más la punta, lo volveríamos a doblar, y al destolear obtendríamos un polígono con más lados. Llevando esto al límite, al final tendríamos la cuarta parte de un círculo. "Pues tenemos que reservar la superficie que marca este círculo y no podemos utilizarla para formar los apartados que nos quedan", ha aclarado Rovo.

Mosca diseñada por José Ignacio Royo: Arenojo cacsomanu. Ed. José Ignacio Royo

En lugar de en una esquina del cuadro, si hacemos los pliegues en el centro de un lado, aparecerá medio círculo y si lo hacemos dentro del papel, todo el círculo. Esto es precisamente lo que hay que hacer es dividir el papel en círculos para conseguir los diez trozos que necesitamos para hacer la mosca. "La distribución óptima de papel es que los círculos sean tangentes entre sí, tangentes", explica Royo. De esta forma conseguimos que los círculos no se superpongan unos con otros y que al mismo tiempo no queden papeles sin utilizar.

Una vez realizada la distribución, es hora de doblar cada parte de la imagen. "Las matemáticas ya pierden importancia en este paso y lo más importante serán la habilidad y la experiencia del plegador para adelgazar más o menos unas puntas, moldear, hacer detalles y, en definitiva, obtener la imagen final", afirma Royo.

Royo aprovechó su experiencia para diseñar esta mosca. Previamente se valió de la distribución de una imagen realizada por otro diseñador para su diseño. Entre las tareas a realizar se incluye el diseño de la mosca siguiendo el proceso descrito.

De todas formas, si destruyéramos la imagen creada y volviéramos al cuadro original, las marcas que han quedado en papel, unas serían las que forman los valles y otras las que forman las cumbres. "Esto demuestra, más que nada, las matemáticas que se esconde detrás de la papiroflexia. Y es que, en el lenguaje matemático, este conjunto de marcas se llama grafo, ya que está formado por vértices o nodos (puntos) y cantos, y todos ellos están de alguna manera combinados", explica Royo.

Este mapa de marcas tiene un nombre especial en papiroflexia, crease pattern. "Sólo por eso, es decir, sin instrucciones, se puede inventar qué pliegues hay que hacer al papel para llegar a la imagen final, pero sólo lo pueden hacer -ha añadido Royok- quienes tienen bastante experiencia en papiroflexia. Para cualquiera no es obvio qué pasos hay que seguir para llegar".

Haz tu bomba de agua

Si repites estas instrucciones en un trozo de papel obtendrás una bomba de agua. Se trata de cubos de papel que antiguamente hacían los niños para jugar con el agua, a falta de globos. Es una imagen de gran tradición, antigua. Por ejemplo, John Webster, en la obra "La duquesa de Malfí" de 1614, menciona "las jaulas de papel que los niños utilizan para atrapar moscas", y los expertos creen que se trata de bombas de agua.

Ed. Danel Solabarrieta/Elhuyar Zientzia

Una de las peculiaridades de esta imagen es que es totalmente simétrica, es decir, que hay que repetir los movimientos cuatro veces para llegar a la imagen final. Y en el último paso hay que soplar la estructura creada, ya que para tener una bomba de agua se necesita una imagen tridimensional.

Anímate a hacerlo y crea tu propia bomba de agua siguiendo las instrucciones que encontraréis en el PDF enlazado y el mapa de marca. También puedes hacerlo tomando cualquier otro trozo de papel cuadrado.

Si no se adapta a las instrucciones de los diagramas, en este vídeo puedes ver cómo hacerlo.

Algunos conceptos básicos de las matemáticas pueden verse doblando el papel

José Ignacio Royo Prieto, matemático del departamento de Matemática Aplicada de la UPV, cree que la papiroflexia es una forma de acercarse al mundo de las matemáticas de una manera amena. "No hay nada como coger un poliedro en las manos para apreciar sus simetrías, por ejemplo. Y, por supuesto, si es una imagen hecha por uno", dice.

Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

Sin llegar a realizar imágenes con papiroflexia, el simple doblado de trozos de papel permite comprender más fácilmente algunos conceptos básicos de geometría. Por ejemplo, cuando llevamos un punto sobre otro y doblamos el papel, estamos haciendo la mediana entre ambos puntos. O si doblamos el papel con dos bordes superpuestos, estamos dividiendo el ángulo que une ambos lados por la mitad, es decir, marcando la bisectriz. "Todos ellos se pueden hacer con la regla y el compás, pero con el doblado de papel se hacen más fáciles, y se entiende mejor lo que se está haciendo, porque el resultado es evidente", explica Royo.

Supongamos que tenemos un triángulo de papel. A continuación, partiendo de este triángulo podemos hacer un rectángulo, uniendo los tres vértices en el pie del triángulo, y observando que la superficie del rectángulo resultante es la mitad de la superficie del triángulo original, ya que en el rectángulo se han juntado dos capas del papel utilizado para realizar el triángulo. Además, la planta y la altura del rectángulo son la mitad del triángulo original, de donde se puede deducir que la superficie de un triángulo es la mitad de su pie por su altura. Por cierto, en este movimiento se puede observar que la suma de los tres ángulos de un triángulo, unidos, forma un ángulo plano.