Matemática e Arte do Pliegue

2014/07/01 Lakar Iraizoz, Oihane - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika
• Diseinua

Imaxinación, coñecemento matemático e experiencia. Estas tres calidades son necesarias paira o deseño de imaxes por papiroflexia, segundo José Ignacio Royo Prieto, matemático do departamento de Matemática Aplicada da UPV. A partir de aí, "pódese obter a base de calquera imaxe cun anaco de papel, o que demostrou o físico Robert Lang e o experto en papiroflexia. A clave está na correcta distribución das partes da imaxe na parte de papel que se utilizará paira a realización da imaxe", engade.

A papiroflexia ten a súa orixe en Xapón ou, utilizando a palabra xaponesa, o origami; VIN. as primeiras referencias son de século. En xaponés, a palabra escríbese con dous caracteres: un indica a man ( ori ) e o outro flexiona ( kami ). "A tradición europea de encartar papel é independente do xaponés, e é posible que o punto de partida sexa o plegamiento decorativo das servilletas de banquetes. Hai documentos que fan referencia a este costume, o XVI. subalternos", explica Royok Matemáticas e Papiroflexia: una relación bidireccional no artigo.

José Ignacio Royo Prieto. Investigador do departamento de Matemática Aplicada da UPV e afeccionado á papiroflexia. Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

O motor desta tradicional papiroflexia foi a intuición, o século XX. Até mediados do século XX aproximadamente: os deseños creábanse probando e aprendendo dos erros, incluso modificando deseños previos. Una forma de transformación pode ser, por exemplo, "realizar vacinacións --detallar Rogo e utilizar una figura que mostra a cabeza e as ás dun paxaro-: si destolamos a imaxe realizada, podemos cortar ese anaco de papel, tendo en conta onde quedou cada un dos compoñentes da imaxe, e respectalos, é dicir, deixando toda a parte de papel correspondente a cada sección. Pois ben, pegando as partes separadas nun anaco de papel máis grande, sobraranos o papel paira engadir outras partes á imaxe, como as patas. Seguindo os pasos orixinais, volveriamos obter a imaxe inicial e teriamos que buscar a forma de facer as pernas coa parte sobrante".

Neste tipo de imaxes, o doblador realiza dobleces aleatorias ou intuitivas, ata que o anaco de papel que ten entre mans adquire a forma dun animal ou obxecto coñecido. Entón, coa súa experiencia, dálle os últimos toques e, a continuación, só ten que lembrar a sucesión de pliegues que realizou paira elaborar una lista de instrucións da imaxe creada. "Esta forma de dobrar o papel séguese utilizando na actualidade, pero sen dúbida ten grandes limitacións", sinalou Rovo.

A revolución do aumento da intención

Nas últimas décadas creouse una nova forma de facer os deseños, que son creados cunha intención ou intención. "A maior diferencia respecto ao outro é que antes de empezar a dobrar, o plegador planifica a estrutura e distribución do modelo. E paira iso utiliza as matemáticas", afirma Royo. Grazas a esta distribución planificada, "fan figuras cunha complexidade e precisión moito maior que as tradicionais", engadiu Royo: todo tipo de mamíferos, coas súas ramas, orellas, cola, insectos con todas as patas, ás e antenas... "produciuse una verdadeira revolución creativa na papiroflexia nas últimas tres décadas", destacou.

Ademais da papiroflexia figurativa que constrúe imaxes que imitan animais ou obxectos reais, existe outro tipo de papiroflexia: a papiroflexia modular. A papiroflexia modular consiste na creación dun conxunto de pezas básicas que se unen entre si, sen utilizar ningún tipo de cola, paira obter una imaxe final (case sempre xeométrica). "Paira iso, as pezas básicas deben ter petos e aletas paira poder meterse unhas dentro doutras", explica Royo.

Ed. Jorge Jaramillo/CC-BY

Son varios os expertos que se converteron en referentes da papiroflexia moderna. Por encima de todos, destaca o xaponés Akira Yoshizawa. El cre que é o pai da papiroflexia moderna. De feito, Yoshizawa propuxo, por primeira vez, como dar pautas paira flexionar os modelos e a simboloxía a utilizar paira iso. "Sen dúbida, a maior contribución á papiroflexia é desde que se inventou o papel, o que permitiu a internacionalización dos deseños realizados por todos", afirmou Rovo.

Como afeccionado á papiroflexia, o propio Royo inventou varios deseños, tanto figurativos como modulares: "Cada un ten as súas particularidades e, por tanto, deséñanse seguindo pautas diferentes". Expón as claves básicas cun exemplo.

Análise de ángulos en papiroflexia modular

Na imaxe pódese ver que o cinco tetraedros do FIT viven nun dodecaedro. Os vértices da composición coincidentes en cinco ou cinco no mesmo plano. Coa unión deste cinco, obteriamos un pentágono e todos os grupos de cinco describen un dodecaedro conxunto. Ed. José Ignacio Royo

En papiroflexia modular, "una das miñas obras máis importantes é a composición coñecida co acrónimo FIT (Five Intersecting Tetrahedra, ou cinco tetraedros cruzados)", afirma. En concreto, a súa versión sólida. De feito, pódense construír figuras xeométricas de formas moi diversas: sólidas, é dicir, que se obtería mediante a talla dunha peza sólida, con só os bordos do poliedro e, por tanto, con caras baleiras, estreladas, figuras con relevos en lugar de rostros planos, etc.

Como indica o nome da imaxe, a imaxe está formada por cinco tetraedros que se entrecruzan. Paira velo máis claro, Royo construíu pezas de cinco cores ou módulos. A FIT nace da unión de vinte módulos. Por tanto, "o primeiro traballo consistiu en analizar os ángulos dos módulos que quería crear e, posteriormente, en pensar como conseguilos mediante a flexión de papel".

O maior reto foi deseñar os módulos. Cada módulo está formado por tres triángulos que se combinan en forma piramidal.

Deseño figurativo, matemática e experiencia da man

No caso do deseño de imaxes figurativas, dado que se traballa cun único anaco de papel, o máis importante é "distribuír ben o papel paira poder realizar todos os apartados que conterá a nosa imaxe", afirma Royo. Una forma de facelo é facer un esquema da imaxe que se quere conseguir. Imaxinemos una mosca que Royo deseñou, entre outras cousas: "O primeiro que temos que facer é facer un esquema en forma de árbore con todos os apartados que vai ter a nosa imaxe, cada un deles será una rama desa árbore. A lonxitude de cada rama tamén deberá representarse adecuadamente para que as pernas sexan máis longas que a cabeza, por exemplo. Neste paso, o deseñador debe decidir até que punto quere simplificar a imaxe desde o obxecto real ou, o contrario, até que punto quere achegarse á realidade".

Una vez que é unha árbore, empeza o traballo de traer esa división ao papel, o traballo máis difícil, e aí as matemáticas son de gran axuda. Se decidimos imaxinar seis patas, dúas ás, o abdome e a cabeza paira facer a mosca, teremos que facer unha árbore de dez ramas, é dicir, sacaremos dez puntas da nosa fracción de papel. Supoñamos que imos facer una delas cunha das esquinas do papel. Deberemos dobrar polo centro esta esquina e de novo polo centro paira conseguir una punta delgada. Se especificamos tamén a lonxitude que vai ter, e despois desfacemos todos os pliegues realizados, veremos que un polígono está marcado nun bordo do papel cadrado. Se quixésemos adelgazar máis a punta, volveriámolo a dobrar, e ao destolear obteriamos un polígono con máis lados. Levando isto ao límite, ao final teriamos a cuarta parte dun círculo. "Pois temos que reservar a superficie que marca este círculo e non podemos utilizala paira formar os apartados que nos quedan", aclarou Rovo.

Mosca deseñada por José Ignacio Royo: Arenojo cacsomanu. Ed. José Ignacio Royo

En lugar de nunha esquina do cadro, se facemos os pliegues no centro dun lado, aparecerá medio círculo e se o facemos dentro do papel, todo o círculo. Isto é precisamente o que hai que facer é dividir o papel en círculos paira conseguir os dez anacos que necesitamos paira facer a mosca. "A distribución óptima de papel é que os círculos sexan tangentes entre si, tangentes", explica Royo. Desta forma conseguimos que os círculos non se superpongan uns con outros e que ao mesmo tempo non queden papeis sen utilizar.

Una vez realizada a distribución, é hora de dobrar cada parte da imaxe. "As matemáticas xa perden importancia neste paso e o máis importante serán a habilidade e a experiencia do plegador paira adelgazar máis ou menos unhas puntas, moldear, facer detalles e, en definitiva, obter a imaxe final", afirma Royo.

Royo aproveitou a súa experiencia paira deseñar esta mosca. Previamente valeuse da distribución dunha imaxe realizada por outro deseñador paira o seu deseño. Entre as tarefas a realizar inclúese o deseño da mosca seguindo o proceso descrito.

De todos os xeitos, se destruísemos a imaxe creada e volvésemos ao cadro orixinal, as marcas que quedaron en papel, unhas serían as que forman os vales e outras as que forman os cumes. "Isto demostra, máis que nada, as matemáticas que se esconde detrás da papiroflexia. E é que, na linguaxe matemática, este conxunto de marcas chámase grafo, xa que está formado por vértices ou nodos (puntos) e cantos, e todos eles están dalgunha maneira combinados", explica Royo.

Este mapa de marcas ten un nome especial en papiroflexia, crease pattern. "Só por iso, é dicir, sen instrucións, pódese inventar que pliegues hai que facer ao papel paira chegar á imaxe final, pero só o poden facer -engadiu Royok- quen teñen bastante experiencia en papiroflexia. Paira calquera non é obvio que pasos hai que seguir paira chegar".

Fai a túa bomba de auga

Se repites estas instrucións nun anaco de papel obterás una bomba de auga. Trátase de cubos de papel que antigamente facían os nenos paira xogar coa auga, a falta de globos. É una imaxe de gran tradición, antiga. Por exemplo, John Webster, na obra "A duquesa de Malfí" de 1614, menciona "as gaiolas de papel que os nenos utilizan paira atrapar moscas", e os expertos creen que se trata de bombas de auga.

Ed. Danel Solabarrieta/Elhuyar Zientzia

Una das peculiaridades desta imaxe é que é totalmente simétrica, é dicir, que hai que repetir os movementos catro veces paira chegar á imaxe final. E no último paso hai que soprar a estrutura creada, xa que paira ter una bomba de auga necesítase una imaxe tridimensional.

Anímache a facelo e crea a túa propia bomba de auga seguindo as instrucións que atoparedes no PDF enlazado e o mapa de marca. Tamén podes facelo tomando calquera outro anaco de papel cadrado.

Se non se adapta ás instrucións dos diagramas, neste vídeo podes ver como facelo.

Algúns conceptos básicos das matemáticas poden verse dobrando o papel

José Ignacio Royo Prieto, matemático do departamento de Matemática Aplicada da UPV, cre que a papiroflexia é una forma de achegarse ao mundo das matemáticas dunha maneira amena. "Non hai nada como coller un poliedro nas mans paira apreciar as súas simetrías, por exemplo. E, por suposto, si é una imaxe feita por un", di.

Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

Sen chegar a realizar imaxes con papiroflexia, o simple dobrado de anacos de papel permite comprender máis facilmente algúns conceptos básicos de xeometría. Por exemplo, cando levamos un punto sobre outro e dobramos o papel, estamos a facer a mediana entre ambos os puntos. Ou si dobramos o papel con dous bordos superpuestos, estamos a dividir o ángulo que une ambos os lados pola metade, é dicir, marcando a bisectriz. "Todos eles pódense facer coa regra e o compás, pero co dobrado de papel fanse máis fáciles, e enténdese mellor o que se está facendo, porque o resultado é evidente", explica Royo.

Supoñamos que temos un triángulo de papel. A continuación, partindo deste triángulo podemos facer un rectángulo, unindo os tres vértices no pé do triángulo, e observando que a superficie do rectángulo resultante é a metade da superficie do triángulo orixinal, xa que no rectángulo xuntáronse dúas capas do papel utilizado paira realizar o triángulo. Ademais, a planta e a altura do rectángulo son a metade do triángulo orixinal, de onde se pode deducir que a superficie dun triángulo é a metade do seu pé pola súa altura. Por certo, neste movemento pódese observar que a suma dos tres ángulos dun triángulo, unidos, forma un ángulo plano.